第一章 概率論的基本概論
1. 概率論的基本概論 確定現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象，如向上拋一石子必然下落，等 隨機現(xiàn)象：稱某一現(xiàn)象是“隨機的”，如果該現(xiàn)象（事件或試驗）的結果是不能 確切地預測的。 由此產(chǎn)生的概念有：隨機現(xiàn)象，隨機事件，隨機試驗。 例：有一位科學家，他通曉現(xiàn)有的所有學科，如果對一項試驗（比如：擲硬幣），該萬 能科學家也無法確切地預測該實驗的結果（是正面朝上還是反面朝上），這一實驗就是 隨機實驗，其結果是“隨機的”----為一隨機事件。 例：明天下午三點鐘”深圳市區(qū)下雨”這一現(xiàn)象是隨機的，其結果為隨機事件。 隨機現(xiàn)象的結果（隨機事件）的隨機度如何解釋或如何量化呢？ 這就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定義：對于一隨機事件A，用一個數(shù)P(A)來表示該事件發(fā)生的可能性大 小，這個數(shù)P(A)就稱為隨機事件A發(fā)生的概率。 §1.1 隨機試驗 |序號 |條件 |觀察特性 |可能結果 | | |拋一枚硬幣 |正、反面出現(xiàn)的情況 |正面H,反面T | |E1 | | | | |E2 |將一枚硬幣拋擲三次 |正、反面出現(xiàn)的情況 |HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TT| | | | |H,TTT | |E3 |同上 |出現(xiàn)正面的次數(shù) |0,1,2,3 | | |拋一顆骰子 |出現(xiàn)的點數(shù) |1, 2, 3， | |E4 | | |4，5，6 | | |記錄電話交換機呼喚次數(shù) |一分鐘內接到的呼喚次數(shù) |0,1,2,3,…. | |E5 | | | | |E6 |一批燈泡中任抽取一次 |測量使用壽命 |[pic]非負實數(shù) | | |記錄某地晝夜溫度 |最高和最低溫度 |[pic] | |E7 | | | | 以上試驗的共同特點是: 1．試驗可以在相同的條件下重復進行； 2．試驗的全部可能結果不止一個，并且在試驗之前能明確知道所有的可能結果； 3．每次試驗必發(fā)生全部可能結果中的一個且僅發(fā)生一個，但某一次試驗究竟發(fā)生哪一個 可能結果在試驗之前不能預言。 我們把對隨機現(xiàn)象進行一次觀察和實驗統(tǒng)稱為隨機試驗，它一定滿足以上三個條件。我 們把滿足上述三個條件的試驗叫隨機試驗，簡稱試驗，記E。 §1.2樣本空間與隨機事件 (一) 樣本空間與基本事件 E的一個可能結果稱為E的一個基本事件，記為ω，e等。 E的基本事件全體構成的集，稱為E的樣本空間，記為S或[pic], 即：S={ω|ω為E的基本事件}，[pic]={e}. 注意：ω的完備性，互斥性特點。 例：§1.1中試驗 E[pic]--- E7 E[pic]：S[pic]={H,T} E[pic]：S[pic]={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E[pic]：S[pic]={0，1，2，3} E[pic]：S[pic]={1,2,3,4,5,6} E[pic]: S[pic]={0,1,2,3,…} E[pic]：S[pic]={t[pic]} E7：S[pic]={[pic][pic]} （二） 隨機事件 我們把試驗E 的全部可能結果中某一確定的部分稱為隨機事件。記為 [pic] 事件是由基本事件組成的，事件是樣本空間的子集。 |集合論 |集合 點 子集 | |概率論 |S [pic] A | 在一次試驗中，事件A 發(fā)生的含義是，當且僅當A 中的某一個基本事件發(fā)生。事件A 發(fā)生也稱為事件A 出現(xiàn)。 必然事件：S 不可能事件：[pic] 例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出現(xiàn)是的H”, 即： (三) 事件的關系與運算 設E 的S ，A ，B，[pic] 1．[pic] 2．[pic] 3．[pic] 4．[pic] 5．[pic] [pic] 7．[pic]。 記[pic]。 (常用的關系） 補充 1．[pic] 2．[pic] 3．[pic] 吸收律 若[pic]，則[pic] 特別注意：[pic] 德·莫根律（對偶公式） [pic] 推廣：[pic]，[pic]。 例2：P6,在例1中…. 其它例子： 例3：[pic]：設[pic]{甲中}，[pic]{乙中}，問[pic]與[pic]各表示什么事件？是否 是相等事件？ 留為練習 例4：一射手向目標射擊3發(fā)子彈，[pic]表示第i次射擊打中目標[pic]。試用[pic]及 [pic]其運算表示下列事件： （1）“三發(fā)子彈都打中目標”； （2）“三發(fā)子彈都未打中目標”； （3）“三發(fā)子彈至少有一發(fā)打中目標”； （4）“三發(fā)子彈恰好有一發(fā)打中目標”； （5）“三發(fā)子彈至多有一發(fā)打中目標”. 留為練習 §1.3 概率與頻率 1. 事件的頻率及其穩(wěn)定性 設某試驗[pic]的樣本空間為[pic]，[pic]為E的一個事件。把試驗E重復進行了n次，在 這n次試驗中，A發(fā)生的次數(shù)[pic]稱為A的頻數(shù)。稱[pic]為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻 率，記作: [pic]。 頻率的基本性質 1) 對任意事件A，有[pic]； 2) [pic]，[pic]； 3) 若[pic]是互不相容的，則[pic]， 推論：對任一事件A，有[pic]。 實踐證明：當試驗次數(shù)n很大時，事件A的頻率[pic]幾乎穩(wěn)定地接近一個常數(shù) p。頻率的這種性質稱為頻率的穩(wěn)定性，它是事件本身所固有的。書上p8—9頁例1，2. 概率的頻率定義 定義1.1 在一組不變的條件下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。當試驗次數(shù) n很大時，如果頻率[pic]穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動，而且一般地說，隨著試驗次數(shù)的增 加，這種擺動的幅度越來越小，則稱數(shù)值p為事件A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率， 記作[pic]p。 補充：概率的幾種度量方法 事件A的概率，記為P(A)，表示該事件發(fā)生的可能性大小，是事件的一個非負實 值函數(shù)，滿足某種概率進行代數(shù)運算的公理。 對概率P(A)有幾種不同的度量方法： 前面給出了用頻率度量概率的方法，也稱為古典概率度量。還是二種度量方法。 1. 幾何概率度量 [pic] [pic] 表示”在區(qū)域[pic]中隨機取一點，而該點落在區(qū)域g中”這一事件。 例： 這時，[pic]可以是整個園：測度為面積；也可以是整個園周：測度為長度。 2. 主觀概率度量 對事件A的信念度稱為這一事件的概率P(A). 主觀概率（信念度）是通過相對似然的概念來運算的。 例如：見朱手稿。。。 現(xiàn)通過例子說明此方法： 例1：事件A”明天下午3點深圳市區(qū)有雨”， 求P(A): 即求A的主觀概率； 現(xiàn)有一大轉盤，標有紅色區(qū)域，事件B：”指針落在紅色區(qū)域”。 讓你選擇A發(fā)生還是B發(fā)生的可能性大，為了迫使你選擇，有這樣的將勵機 制，。。。選擇對的話，將10萬元。。。 紅色區(qū)域 如果開始時，紅色區(qū)域充滿整個園，你當然要選B發(fā)生的可能性大，逐步調節(jié)紅 色區(qū)域的大小，漸漸縮小，。。。等到選A或B都一樣時停止，這時，可以由B的幾何概率 作為A的主觀概率。 當你對選A或B誰發(fā)生的可能性大沒有偏好時，。。。 例2. 假如你面臨以下兩種選擇：1.如果事件A發(fā)生，你將得到少量的報酬R；否則沒有報酬。 2.參加抽獎，你贏得一份小報酬R的概率為P，但是你輸或者說你得不到報酬的概率為1- P。 如果你對1，2兩種選擇沒有偏好，那么你判斷事件A發(fā)生的概率為P.(主觀) (二) 概率的公理化定義 概率的公理化定義 定義1.2 設試驗E的樣本空間為S，如果對每一個事件A都有一個實數(shù)[pic]與之對應，且滿足下面 三條公理： 公理1（非負性）：對任一事件A，有[pic]； 公理2（規(guī)范性）：對必然事件S，有[pic]； 公理3（完全可加性）若可列無窮多個事件[pic]互不相容，則[pic]，那么稱[pic]為事 件A的概率。 概率的性質 (1)[pic]; (2)有限可加性: 若[pic]互不相容，則[pic]; (3)對事件A,都有[pic]; 4) 若[pic],則 ([pic]; ([pic]； 特別的，對任何事件A，都有[pic]; 5) 對任何兩個事件A,B，都有 [pic]; 6) 對任何n個事件[pic],都有 [pic] 例10---12為第一版上的例子。 例10： A,B是E中二個事件，已知 [pic]，[pic]，求[pic] 解：[pic] [pic] 例11：在某城市的居民中訂購報紙的情況是：訂購A報的占45%，訂購B報的占35%； 訂購C報的占30%，同時訂購A,B的占10%，同時訂購A,C的占8%，同時訂購B,C的占5%，同 時訂購A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率） （1）{只訂購A報紙的}；（2）{至少訂一種報紙的}。 例12：在所有的兩位數(shù)（即從10至99）中， 任取一個數(shù)，求這個數(shù)能被2或者3整除的概率。 §1.4 等可能概型（古典概型） 一、古典概率 1．古典概型與計算公式 E滿足： ① S中基本事件ω個數(shù)是有限的n ； ② 每個基本事件發(fā)生是等可能的. 稱E為古典概型。 E中事件A包含k個基本事件，則A發(fā)生的概率為[pic][pic]P(A). 2．古典概率的基本性質 設E是古典概型，其樣本空間為[pic]，A，A[pic]，A[pic]，…，A[pic]是E中事件： ①．0≤P（A）≤1 ②．P（S）=1，P（[pic]）=0 ③．若A[pic]，A[pic]，…，A[pic]是互不相容的事件，則有P[pic]； 推論： P（A）=1- P（[pic]）。 1. P13，將一枚硬幣擲三次，。。。。 P14---17 例2—7.照書上講。。。 以下例4---9為第一版上的例子： 例4：E[pic]中求任取一球的號碼為偶數(shù)的概率。 解：設A={所取的球的號碼為偶數(shù)}={ (2，(4，(6 } 即A中基本事件數(shù)k=3，于是P（A）=[pic]. 例5：（1.10）在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼[pic]。每次任取一個球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下 一個。這種取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的 概率。 例6：(1.11) 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼[pic]。每次任取一個球，記錄其號碼后不放回袋中，再任取 下一個。這種取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù) 的概率。 例7：盒中有a個紅球，b個白球（a≥2 , b≥1）， 每次從中任取一球，不放回地連取三次，求下列事件的概率： (1) “ 取出的三個球依次為紅，白，紅色球 ”[pic]A ； (2)“ 取出的三個球有兩個是紅色球 ”[pic]B . 例：(1.13) 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼[pic]。今任取兩個球，求取得的第一個球號碼為奇數(shù)， 第二個球號碼為偶數(shù)的概率。 例8：（1.14）設一批同類型的產(chǎn)品共有[pic]件，其中次品有[pic]件。今從中任取[pic]（ 假定[pic]）件，求次品恰有[pic]件的概率[pic] 例9：一箱內裝有同類產(chǎn)品六件（其中4件是正品，二件是次品）。從中每次取一件，連 取兩次。求下列事件的概率： （1）“ 取到的兩件產(chǎn)品的質量是相同的 ”[pic]A ； （2）“取到的兩件產(chǎn)品至少有一件是正品”[pic]B . §1.5[pic]條件概率 1. 條件概率 例1 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，設事件A為”到少有一次為H”， 事件B為”兩次擲出同一面”?，F(xiàn)在來求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。 解：樣本空間為S={HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT} 于是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率（記為P(B/A)）為： P(B/A)=1/3 注意到： [pic] 易知： [pic] [pic] 1. 定義：設A,B為E中的二個事件，且[pic]，則在事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條 件概率定義為：[pic].同樣若[pic]，則[pic]。 2. 性質（定理） 如果[pic],則[pic]是概率. [pic] 3. 計算方法 法一：公式計算法; 法二：直接計算法. 不難驗證，條件概率P(·/A)符合概率定義中的三個條件： 1.非負性 2.完全性 3.可加性 P19 例2 P19，。 下面的例11--13為第一版。 例11：甲乙二廠同生產(chǎn)一種零件，分放在二個箱內，它們產(chǎn)品的情況如下： | | 正品 | 次品 | 小計 | | 甲廠 | 50 | 20 | 70 | | 乙廠 | 25 | 5 | 30 | | 小計 | 75 | 25 | 100 | 從中任取一件產(chǎn)品，求下列事件的概率： （1）“取得的一件產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品”=A; (2)“取得的一件產(chǎn)品是次品”=B; (3)“取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品”; (4)已知取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，求它是次品的概率。 例12：在標號依此為[pic]的15個同類球 中，任取一球。易算出下列事件的概率和條件概率。 (1)取得“標號為偶數(shù)”（事件A）的概率；...
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