第五章 大數(shù)定律和中心極限定理
第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 §1 大數(shù)定律 設(shè)X1,X2,...Xn,...是一隨機(jī)變量列，a1,a2,...an,...是一常數(shù)列，令Yn=[pic] n=1,2,...,，所謂大數(shù)定律就是研究(Yn-an)收斂到0的定理。按收斂意義的不同，有弱 大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律。我們主要介紹弱大數(shù)定律，弱大數(shù)定律也稱大數(shù)定律。 契比雪夫不等式 設(shè)R.V.X，其[pic]都存在，則對任意[pic]均有 [pic] 或 [pic] 一、大數(shù)定律 定理5.1:(契比雪夫大數(shù)定律） 若X1,X2,...Xn,...相互獨(dú)立，它們的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，且方差一致有界，即E(X i)=(i, D(Xi)=(i2(C(常數(shù)） i=1,2,... 則對任意的((0，均有 [pic]P{(Yn-E(Yn)(((}=1 (5.1) 其中Yn=[pic] 定理5.2（伯努利大數(shù)定律） 設(shè)伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p(0(p(1)，m為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) ，則對任意的((0，均有 [pic] (5.2) 定理5.3 （辛欽大數(shù)定律） 若X1,X2,...,Xn,...相互獨(dú)立同分布，其數(shù)學(xué)期望存在，即E(Xi)=(,i=1,2,...，則對任 意的((0，均有 [pic] (5.3) 例:設(shè)X1,X2,...,Xn,...獨(dú)立同分布，且X i的k階矩m k=E(X ik)存在（k為正整數(shù)），則 對任意的((0，均有 [pic] 二、中心極限定理 定理5.4 (林德貝格-萊維定理） 若X1,X2,...,Xn,...相互獨(dú)立同分布，其數(shù)學(xué)期望和方差均存在且方差大于零，即E(Xi )=(, D(Xi)=(2(0, i=1,2,...則[pic]的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量[pic]的分布函數(shù)[pic]對于任意的x滿足 [pic] 即[pic]的分布函數(shù)[pic][pic]. 當(dāng)[pic]很大時(shí)近似公式 [pic][pic][pic][pic][pic]. 例:為了把問題簡化，假定在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，對每個(gè)數(shù)都取最接近它的整數(shù)（ 即取整）再相加。設(shè)n個(gè)數(shù)取整之后的誤差依此為[pic]它們相互獨(dú)立，都在[- 0.5，0.5]上服從均勻分布。求 1. 1200個(gè)數(shù)相加時(shí)，誤差總和的絕對值小于10的概率。 2. 多少個(gè)數(shù)相加時(shí)，誤差總和的絕對值小于15的概率大于0.9。 定理5.5:（德莫佛-拉普拉斯積分極限定理） 設(shè)伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p(0(p(1)，m為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) ，則對任意的x,均有 [pic][pic] 應(yīng)用：當(dāng)n充分大[pic]，[pic]. 例:有一大批種子其中良種占20%，從中任取5000粒[pic]，試問這些種子中良種所占比例 與[pic]（即20%）之差小于0.01的概率。 注 ：[pic]* 可認(rèn)為是有放回抽取。 例.設(shè)某車間有150臺(tái)機(jī)床獨(dú)立工作， 已知每臺(tái)機(jī)床在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)耗電量都是5(千瓦).因檢修等原因,每臺(tái)機(jī)床平均只有60%的時(shí)間 在運(yùn)轉(zhuǎn).試問,配電室至少要供給這個(gè)車間多少電.才能以99.9%的概率保證這個(gè)車間不致 因供電不足而影響機(jī)床工作. 實(shí)用中：[pic] [pic]較小，[pic]，[pic]； 　[pic] 　[pic]較大，[pic]較小，[pic]適中，[pic]　為好，[pic]. 　[pic]　[pic]較大，[pic]時(shí)，[pic].
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