第十一章 期權定價模型
第十一章 期權定價模型 【學習目標】 本章是期權部分的重點內容之一。本章主要介紹了著名的Black- Scholes期權定價模型和由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹模型，并對其經濟理解和應用進行了進一步的講解。學習 完本章，讀者應能掌握Black- Scholes期權定價公式及其基本運用，掌握運用二叉樹模型為期權進行定價的基本方法。 自從期權交易產生以來，尤其是股票期權交易產生以來，學者們即一直致力于對期權定 價問題的探討。1973年，美國芝加哥大學教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表《期權定價與公司負債》[1]一文，提出了著名的Black- Scholes期權定價模型，在學術界和實務界引起強烈的反響，Scholes并由此獲得1997年 的諾貝爾經濟學獎。在他們之后，其他各種期權定價模型也紛紛被提出，其中最著名的 是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹模型。在本章中，我們將介紹以上這兩個期權定價模型， 并對其進行相應的分析和探討[2]。 第一節(jié) Black-Scholes期權定價模型 一、Black-Scholes期權定價模型的假設條件 Black-Scholes期權定價模型的七個假設條件如下： 1. 期權標的資產為一風險資產（Black- Scholes期權定價模型中為股票），當前時刻市場價格為S。S遵循幾何布朗運動[3]，即 [pic] 其中，[pic]為股票價格瞬時變化值，[pic]為極短瞬間的時間變化值，[pic]為均值 為零，方差為[pic]的無窮小的隨機變化值（[pic]，稱為標準布朗運動，[pic]代表從標 準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值），[pic]為股票 價格在單位時間內的期望收益率（以連續(xù)復利表示），[pic]則是股票價格的波動率，即 證券收益率在單位時間內的標準差。[pic]和[pic]都是已知的。 簡單地分析幾何布朗運動，意味著股票價格在短時期內的變動（即收益）來源于兩個 方面：一是單位時間內已知的一個收益率變化[pic]，被稱為漂移率，可以被看成一個總 體的變化趨勢；二是隨機波動項，即[pic]，可以看作隨機波動使得股票價格變動偏離總 體趨勢的部分。 2．在期權有效期內，標的資產沒有現金收益支付。綜合1和2，意味著標的資產價格 的變動是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。 3. 沒有交易費用和稅收，不考慮保證金問題，即不存在影響收益的任何外部因素。綜合2和 3，意味著投資者的收益僅來源于價格的變動，而沒有其他影響因素。 4. 該標的資產可以被自由地買賣，即允許賣空，且所有證券都是完全可分的。 5. 在期權有效期內，無風險利率[pic]為常數，投資者可以此利率無限制地進行借貸。 6．期權為歐式看漲期權，其執(zhí)行價格為[pic]，當前時刻為[pic]，到期時刻為[pic] 。 7．不存在無風險套利機會。 二、Black-Scholes期權定價模型 （一）Black-Scholes期權定價公式 在上述假設條件的基礎上，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產歐式看漲期 權的一個微分方程： [pic] （11.1） 其中f為期權價格，其他參數符號的意義同前。 通過解這個微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產歐式看漲期權的 定價公式： [pic] （11.2） 其中， [pic] c為無收益資產歐式看漲期權價格；N（x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數 （即這個變量小于x的概率），根據標準正態(tài)分布函數特性，我們有[pic]。 （二）Black-Scholes期權定價公式的理解 1.期權價格的影響因素 首先，讓我們將Black- Scholes期權定價公式與第十章中分析的期權價格的影響因素聯系起來。在第十章中，我 們已經得知期權價格的影響因素包括：標的資產市場價格、執(zhí)行價格、波動率、無風險 利率、到期時間和現金收益。在式（11.2）中，除了由于我們假設標的資產無現金收益 之外，其他幾個參數都包括在內，且影響方向與前文分析的一致。 2.風險中性定價原理 其次我們要談到一個對于衍生產品定價非常重要的原理：風險中性定價原理。觀察式 （11.2），以及第十章中的期權價格影響因素分析，我們可以注意到期權價格是與標的 資產的預期收益率無關的。即在第一節(jié)我們描述標的資產價格所遵循的幾何布朗運動時 曾經出現過的預期收益率[pic]在期權定價公式中消失了。這對于尋求期權定價的人們來 說無疑是一個很大的好消息。因為迄今為止，人們仍然沒有找到計算證券預期收益率的 確定方法。期權價格與[pic]的無關性，顯然大大降低了期權定價的難度和不確定性。 進一步考慮，受制于主觀風險收益偏好的標的證券預期收益率[pic]并未包括在期權 的價值決定公式中，公式中出現的變量為標的證券當前市價（S）、執(zhí)行價格（X）、時 間（t）、證券價格的波動率（[pic]）和無風險利率[pic]，它們全都是客觀變量，獨立 于主觀變量——風險收益偏好。既然主觀風險偏好對期權價格沒有影響，這使得我們可以 利用Black- Scholes期權定價模型所揭示的期權價格的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的 簡單假設： 在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。 在所有投資者都是風險中性的條件下（有時我們稱之為進入了一個“風險中性世界”） ，所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率r，這是因為風險中性的投資者并不需要 額外的收益來吸引他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有現金流量都可以通過 無風險利率進行貼現求得現值。這就是風險中性定價原理。 應該注意的是，風險中性假定僅僅是一個人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不 僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。 為了更好地理解風險中性定價原理，我們可以舉一個簡單的例子來說明。 假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么 是11元，要么是9元?，F在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲 期權的價值。 由于歐式期權不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價 格等于11元，則該期權價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權價值為0 。 為了找出該期權的價值，我們可構建一個由一單位看漲期權空頭和[pic]單位的標的 股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（11[pic]－ 0.5）元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9[pic]元。為了使該組合價 值處于無風險狀態(tài)，我們應選擇適當的[pic]值，使3個月后該組合的價值不變，這意味 著： 11[pic]－0.5=9[pic] [pic]=0.25 因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股 票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。 在沒有套利機會情況下，無風險組合只能獲得無風險利率。假設現在的無風險年利率 等于10%，則該組合的現值應為： [pic] 由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元， 因此： [pic] 這就是說，該看漲期權的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。 從該例子可以看出，在確定期權價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概 率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的 預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界中，無風 險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求： [pic] P=62.66%。 又如，如果在現實世界中股票的預期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式 來求： [pic] P=69.11%。 可見，投資者厭惡風險程度決定了股票的預期收益率，而股票的預期收益率決定了股 票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概 率如何，該期權的價值都等于0.31元。 3. 對期權定價公式的經濟理解。 首先，從Black- Scholes期權定價模型自身的求解過程來看[4]，N(d2)實際上是在風險中性世界中ST大于 X的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概率，因此，e-r(T- t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現值，更樸素地說，可以看成期權可能帶來的收入現值 。SN(d1)= e-r(T- t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現值，可以看成期權持有者將來可能支付的價格的 現值。因此整個歐式看漲期權公式就可以被看作期權未來期望回報的現值。 其次，[pic]，顯然反映了標的資產變動一個很小的單位時，期權價格的變化量；或 者說，如果要避免標的資產價格變化給期權價格帶來的影響，一個單位的看漲期權多頭 ，就需要[pic]單位的標的資產空頭加以保值。事實上，我們在第十二章中將看到，[pic] 是復制交易策略中股票的數量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T- t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產或無價值看漲期權（As set-or-noting call option）多頭和現金或無價值看漲期權（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產或無價值看漲期權的價值，-e-r(T- t)XN(d2)是X份現金或無價值看漲期權空頭的價值。這是因為，對于一個資產或無價值看 漲期權來說，如果標的資產價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權沒有價值；如果高于執(zhí) 行價格，則該期權支付一個等于資產價格本身的金額，根據前文對N(d2)和SN(d1)的分析 ，可以得出該期權的價值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)的結論；同樣，對于（標準）現金或無價值看漲期權，如果標的資產價格在到期 時低于執(zhí)行價格，該期權沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權支付1元， 由于期權到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為N(d2)，則1份現金或無價值看漲期權的現值 為-e-r(T-t) N(d2)。 （三）Black-Scholes期權定價公式的拓展 1.無收益資產歐式看跌期權的定價公式 Black- Scholes期權定價模型給出的是無收益資產歐式看漲期權的定價公式，根據歐式看漲期權 和看跌期權之間的平價關系，可以得到無收益資產歐式看跌期權的定價公式： [pic] （11.3） 2. 無收益資產美式期權的定價公式 在標的資產無收益情況下，由于C=c，因此式（11.2）也給出了無收益資產美式看漲 期權的價值。 由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，因此美式看跌期權的定價 還沒有得到一個精確的解析公式，但可以用數值方法以及解析近似方法求出。 3. 有收益資產期權的定價公式 到現在為止，我們一直假設期權的標的資產沒有現金收益。那么，對于有收益資產， 其期權定價公式是什么呢？實際上，如果收益可以準確地預測到，或者說是已知的，那 么有收益資產的歐式期權定價并不復雜。 在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權有效期內已知現金 收益的現值部分和一個有風險部分。當期權到期時，這部分現值將由于標的資產支付現 金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風險部分的證券價格。[pic]表示風險部分遵 循隨機過程的波動率[5]，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）分別計算出有收益資產 的歐式看漲期權和看跌期權的價值。 當標的證券已知收益的現值為I時，我們只要用（S－I）代替式（11.2）和（11.3） 中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將[pic] 代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期 權的價格。在各種期權中，股票指數期權、外匯期權和期貨期權的標的資產可以看作支 付連續(xù)紅利率，因而它們適用于這一定價公式。具體的內容，我們將在第十三章深入闡 述。 另外，對于有收益資產的美式期權，由于有提前執(zhí)行的可能，我們無法得到精確的解 析解，仍然需要用數值方法以及解析近似方法求出。 三、Black-Scholes期權定價公式的計算 1. Black-Scholes期權定價模型的參數 我們已經知道，Black- Scholes期權定價模型中的期權價格取決于下列五個參數：標的資產市場價格、執(zhí)行價格 、到期期限、無風險利率和標的資產價格波動率（即標的資產收益率的標準差）。在這 些參數當中，前三個都是很容易獲得的確定數值。但是無風險利率和標的資產價格波動 率則需要通過一定的計算求得估計值。 1. 估計無風險利率 在發(fā)達的金融市場上，很容易獲得對無風險利率的估計值。但是在實際應用的時候仍 然需要注意幾個問題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來說，在美國人們大多選 擇美國國庫券利率作為無風險利率的估計值...
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