第十二章 期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值
第十二章 期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值 【學習目標】 本章是期權(quán)部分的重點內(nèi)容之一。本章的重要內(nèi)容之一，就是介紹了期權(quán)價格對其四個 參數(shù)（標的資產(chǎn)市場價格、到期時間、波動率和無風險利率）的敏感性指標，并以此為 基礎(chǔ)討論了相關(guān)的動態(tài)套期保值問題。學習完本章，讀者應能掌握與期權(quán)價格敏感性有 關(guān)的五個希臘字母及其相應的套期保值技術(shù)。 在前面幾章中，我們已經(jīng)分析了決定和影響期權(quán)價格的各個重要因素，以及這些因素 對期權(quán)價格的影響方向。進一步來看，根據(jù)Black- Scholes期權(quán)定價公式（[pic]），我們還可以更深入地了解各種因素對期權(quán)價格的影響 程度，或者稱之為期權(quán)價格對這些因素的敏感性。具體地說，所謂期權(quán)價格的敏感性， 是指當這些因素發(fā)生一定的變化時，會引起期權(quán)價格怎樣的變化。本章的重要內(nèi)容之一 ，就是對期權(quán)價格的敏感性作具體的、量化的分析，介紹期權(quán)價格對其四個參數(shù)（標的 資產(chǎn)市場價格、到期時間、波動率和無風險利率）的敏感性指標。 如果我們從另一個角度來考慮期權(quán)價格的敏感性，我們可以把它看作當某一個參數(shù)發(fā) 生變動時，期權(quán)價格可能產(chǎn)生的變化，也就是可能產(chǎn)生的風險。顯然，如果期權(quán)價格對 某一參數(shù)的敏感性為零，可以想見，該參數(shù)變化時給期權(quán)帶來的價格風險就為零。實際 上，當我們運用衍生證券（如期權(quán)）為標的資產(chǎn)或其它衍生證券進行套期保值時，一種 較常用的方法就是分別算出保值工具與保值對象兩者的價值對一些共同的變量（如標的 資產(chǎn)價格、時間、標的資產(chǎn)價格的波動率、無風險利率等）的敏感性，然后建立適當數(shù) 量的證券頭寸，組成套期保值組合，使組合中的保值工具與保值對象的價格變動能相互 抵消，也就是說讓套期保值組合對該參數(shù)變化的敏感性變?yōu)榱?，這樣就能起到消除相應 風險的套期保值的目的。這就是我們在本章將要介紹的“動態(tài)套期保值”技術(shù)。 第一節(jié) Delta與期權(quán)的套期保值 期權(quán)的Delta用于衡量期權(quán)價格對標的資產(chǎn)市場價格變動的敏感度，它等于期權(quán)價格 變化與標的資產(chǎn)價格變化的比率。用數(shù)學語言表示，期權(quán)的Delta值等于期權(quán)價格對標的 資產(chǎn)價格的偏導數(shù)；顯然，從幾何上看，它是期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格關(guān)系曲線切線的 斜率。 一、期權(quán)Delta值的計算 令f表示期權(quán)的價格，S表示標的資產(chǎn)的價格，[pic]表示期權(quán)的Delta，則： [pic] （12.1） 根據(jù)Black- Scholes期權(quán)定價公式（[pic]）和相應的無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)定價公式（[pic]）， 我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的Delta值為： [pic] 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的Delta值為： [pic] 其中d1的定義與式（11.2）相同。 當期權(quán)更為復雜的時候，相應地期權(quán)的Delta值也更為復雜。例如支付已知紅利率q（ 連續(xù)復利）的歐式看漲期權(quán)的Delta值為 [pic] 第十三章將給出股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的相應Delta值。 二、期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析 根據(jù)累積標準正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)可知，[pic]，因此無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的[pic]總 是大于0但小于1；而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的[pic]則總是大于- 1小于0。反過來，作為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)空頭，其Delta值就是總是大于- 1小于0；而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)空頭的[pic]則總是大于0小于1。 從d1定義可知，期權(quán)的[pic]值取決于S、r、[pic]和T- t，根據(jù)期權(quán)價格曲線的形狀（如圖10.3和圖10.4所示），我們可知無收益資產(chǎn)看漲期權(quán) 和歐式看跌期權(quán)的[pic]值與標的資產(chǎn)價格的關(guān)系如圖12.1（a）和（b）所示。 [pic] 圖12.1 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)Delta值與標的資產(chǎn)價格的關(guān)系 從N（d1）函數(shù)的特征還可得出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)在實值、平價和 虛值三種狀況下的[pic]值與到期期限之間的關(guān)系如圖12.2（a）和（b）所示。 [pic] 圖12.2 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與到期期限之間的關(guān)系 此外，無風險利率水平越高，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的[pic]值也越高 ，如圖12.3（a）和（b）所示。 [pic]圖12.3 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與r之間的關(guān)系 然而，標的資產(chǎn)價格波動率（[pic]）對期權(quán)[pic]值的影響較難確定，它取決于無風 險利率水平S與X的差距、期權(quán)有效期等因素。但可以肯定的是，對于較深度虛值 的看漲期權(quán)和較深度實值的看跌期權(quán)來說，[pic]是[pic]的遞增函數(shù)，其圖形與圖12.3 （a）和（b）相似。 三、證券組合的Delta值 事實上，不僅期權(quán)有Delta值，金融現(xiàn)貨資產(chǎn)和遠期、期貨都有相應的Delta值。顯然 ，對于期權(quán)的標的現(xiàn)貨資產(chǎn)來說，其Delta值就等于1。運用第三章中關(guān)于遠期合約價值 的計算公式（3.1）可知，股票的遠期合約的[pic]同樣恒等于1。這意味著我們可用一股 股票的遠期合約空頭（或多頭）為一股股票多頭（或空頭）保值，且在合約有效期內(nèi)， 無需再調(diào)整合約數(shù)量。但是，期貨合約的Delta值就不同了。由于期貨是每天結(jié)算的，因 此期貨合約的收益變化源于期貨價格的變化，也就是說，我們需要運用期貨價格公式計 算出Delta值。因此，無收益資產(chǎn)和支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨合約的[pic]值為： [pic] 支付已知收益率（q）資產(chǎn)期貨合約的[pic]值為： [pic] 值得注意的是，這里給出的Delta值都是針對多頭而言的，和期權(quán)一樣，相應空頭的 Delta值只是符號發(fā)生了相反的變化。 這樣，當證券組合中含有標的資產(chǎn)、該標的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭 寸時，該證券組合的[pic]值就等于組合中各種資產(chǎn)[pic]值的總和（注意這里的標的資 產(chǎn)都應該是相同的）： [pic] （12.2） 其中，wi表示第i種證券的數(shù)量，[pic]i表示第i種證券的[pic]值。 四、Delta中性狀態(tài)與套期保值 由于標的資產(chǎn)和相應的衍生證券可取多頭或空頭，因此其[pic]值可正可負，這樣， 若組合內(nèi)標的資產(chǎn)和期權(quán)及其他衍生證券數(shù)量配合適當?shù)脑?，整個組合的[pic]值就可能 等于0。我們稱[pic]值為0的證券組合處于Delta中性狀態(tài)。 當證券組合處于[pic]中性狀態(tài)時，組合的價值顯然就不受標的資產(chǎn)價格波動的影響 ，從而實現(xiàn)了套期保值。但是值得強調(diào)的是，證券組合處于[pic]中性狀態(tài)只能維持一個 很短的時間，因為Delta實質(zhì)上是導數(shù)。因此，我們只能說，當證券組合處于[pic]中性 狀態(tài)時，該組合價值在一個“短時間”內(nèi)不受標的資產(chǎn)價格波動的影響，從而實現(xiàn)了“瞬時 ”套期保值。 這樣一個[pic]中性狀態(tài)的套期保值組合提示我們，當我們手中擁有某種證券或證券 組合時，可以通過相應的標的資產(chǎn)、期權(quán)、期貨等進行相互保值，使證券組合的[pic]值 等于0，也就是不受標的資產(chǎn)價格變化的影響。這種套期保值方法稱為[pic]中性保值法 ，又因為[pic]中性保值只是在瞬間實現(xiàn)的，隨著S、T- t、r和[pic]的變化，[pic]值也在不斷變化，因此需要不斷調(diào)整保值頭寸以便使保值組 合重新處于[pic]中性狀態(tài)，這種調(diào)整稱為再均衡（Rebalancing），因此這種保值方法 屬于“動態(tài)套期保值”。 下面我們分別通過兩個例子來說明運用期權(quán)為標的資產(chǎn)保值和運用標的資產(chǎn)或其他資 產(chǎn)為期權(quán)保值的[pic]中性保值法。 例12.1 美國某公司持有100萬英鎊的現(xiàn)貨頭寸，假設(shè)當時英鎊兌美元匯率為1英鎊=1.6200美 元，英國的無風險連續(xù)復利年利率為13%，美國為10%，英鎊匯率的波動率每年15%。為防 止英鎊貶值，該公司打算用6個月期協(xié)議價格為1.6000美元的英鎊歐式看跌期權(quán)進行保值 ，請問該公司應買入多少該期權(quán)？ 英鎊歐式看跌期權(quán)的[pic]值為： [pic] 而英鎊現(xiàn)貨的[pic]值為+1，故100萬英鎊現(xiàn)貨頭寸的[pic]值為+100萬。為了抵消現(xiàn) 貨頭寸的[pic]值，該公司應買入的看跌期權(quán)數(shù)量等于： [pic]萬 即，該公司要買入218.34萬英鎊的歐式看跌期權(quán)。當然，這只是適合于短時間內(nèi)的保 值頭寸。 例12.2[1] 某金融機構(gòu)在OTC市場出售了基于100 000股不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，收入$300 000。該股票的市場價格為$49，執(zhí)行價格為$50，無風險利率為年利率5%，股票價格波動 率為年20%，距離到期時間為20周。由于該金融機構(gòu)無法在市場上找到相應的看漲期權(quán)多 頭對沖，這樣就面臨著風險管理的問題。 在這里我們可以運用[pic]中性保值法。我們可以用標的資產(chǎn)即股票為此期權(quán)進行套 期保值操作。由于該金融機構(gòu)目前的頭寸是歐式看漲期權(quán)空頭，這意味著他們目前的[pic] 值是負的，這樣，我們需要用正的[pic]值進行對沖，即應該購買標的資產(chǎn)，才能構(gòu)建[pic] 中性組合。之后，我們還需要不斷地調(diào)整標的資產(chǎn)的數(shù)量，以適應期權(quán)[pic]值的變化。 在實際中，過于頻繁的動態(tài)調(diào)整需要相當?shù)慕灰踪M用，因此我們假設(shè)保值調(diào)整每周進行 一次。 根據(jù)題目， [pic] 初始的Delta值為[pic]。這意味著在出售該看漲期權(quán)的同時，需要借入[pic]以49美 元的價格購買52 200股股票。第一周內(nèi)發(fā)生的相應利息費用為$2 500。表12- 1給出了期權(quán)到期時為實值和虛值兩種狀況下的模擬保值過程。 從表12- 1（a）可知，到第一周末，股票價格下降到[pic]。這使得Delta值下降到0.458,要保持 Delta中性，必須出售6 400股股票，得到$308 000的現(xiàn)金，從而使得成本下降。之后，如果Delta值上升，就需要再借錢買入股票；如 果Delta值下降，就賣出股票減少借款。在期權(quán)接近到期時，很明顯為實值期權(quán)，期權(quán)將 被執(zhí)行，Delta值接近1。因此，到20周時，該金融機構(gòu)具有完全的抵補標的資產(chǎn)頭寸， 累積成本為$5 261 500。當期權(quán)被執(zhí)行時，金融機構(gòu)將其所持有的股票出售，獲得$5 000 000 ，因此總的套期保值成本為$261 500。 表12- 1（b）給出了另一種價格序列，即到期時期權(quán)處于虛值狀態(tài)的情形。顯然到期時期權(quán)不 會被執(zhí)行，Delta值接近0，而該金融機構(gòu)最后不會持有標的資產(chǎn)，總計成本為$257 800。 如果把表12-1（a）和表12- 1（b）中的最后套期保值成本貼現(xiàn)到期初，則我們會發(fā)現(xiàn)應用標的資產(chǎn)對該期權(quán)進行[pic] 中性保值的成本近似于運用Black-Scholes期權(quán)定價公式計算出來的$240 000，但不完全相等，不完全相等的原因在于調(diào)整頻率較低。如果我們采用的是瞬時連續(xù) 調(diào)整，就會發(fā)現(xiàn)它們是完全相等的。 表12-1（a） Delta對沖的模擬：實值期權(quán)的情形，保值成本＝$261 500 |周次|股票價 |Delta|購買股票數(shù)|購買股票成本|累計成本（包 |利息費用 | | |格 | | | |括上周利息費 |（以$1 | | | | | | |用，以 |000為單位| | | | | | |$1 000為單位 |） | | | | | | |） | | |0 |49 |0.522|52 200 |2 557.8 |2 557.8 |2.5 | |1 |[pic] |0.458|-6 400 |-308.0 |2 252.3 |2.2 | |2 |[pic] |0.400|-5 800 |-274.8 |1 979.7 |1.9 | |3 |[pic] |0.596|19 600 |984.9 |2 966.5 |2.9 | |4 |[pic] |0.693|9 700 |502.0 |3 471.4 |3.3 | |5 |[pic] |0.744|8 100 |430.3 |3 905.0 |3.8 | |6 |53 |0.711|-300 |-17.9 |3 890.9 |3.7 | |7 |[pic] |0.706|-6 500 |-337.2 |3 557.4 |3.4 | |8 |[pic] |0.674|-3 200 |-164.4 |3 396.4 |3.3 | |9 |53 |0.787|11 300 |598.9 |3 998.6 |3.8 | |10 |[pic] |0.550|-23 700 |-1 182.0 |2 820.4 |2.7 | |11 |[pic] |0.413|-13 700 |-664.4 |2 158.7 |2.1 | |12 |[pic] |0.542|12 900 |643.4 |2 804.2 |2.7 | |13 |[pic] |0.591|4 900 |24.8 |3 053.7 |2.9 | |14 |[pic] |0.768|17 700 |922.6 |3 979.2 |3.8 | |15 |[pic] |0.759|-900 |-46.7 |3 936.3 |3.8 | |16 |[pic] |0.865|10 600 |560.5 |4 500.6 |4.3 | |17 |[pic] |0.978|11 300 |620.1 |5 125.0 |4.9 | |18 |[pic] |0.990|1 200 |65.6 |5 195.5 |5.0 | |19 |[pic] |1.000|1 000 |55.9 |5 256.4 |5.1 | |20 |[pic] |1.000|0 |0.0 |5 261.5 | | |總計| | |100 000 | | | | 在現(xiàn)實生活中，金融...
第十二章 期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值