第十六章 互換的定價與套利
第16章 互換的定價與套利 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)掌握互換定價的基本原理。要理解為什么只要把互換 分解成債券、一組遠(yuǎn)期利率協(xié)議或一組遠(yuǎn)期外匯協(xié)議，就可以利用常用的定價方法為互 換定價。還要對互換的套利有比較深入的了解。 第一節(jié)　互換的定價 　　在本節(jié)中，我們首先探討互換與一系列金融工具的關(guān)系，通過將互換分解成一系列 我們更加熟悉的金融工具，這可以加深我們對互換這種金融工具的理解并為理解互換的 定價原理奠定基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，我們接著討論互換的定價。 1. 利率互換的定價 如果我們假設(shè)沒有違約風(fēng)險，利率互換可以通過分解成一個債券的多頭與另一個債券 的空頭來定價，也可以通過分解成一個遠(yuǎn)期利率協(xié)議的組合來定價。 （一）貼現(xiàn)率 在給互換和其它柜臺交易市場上的金融工具定價的時候，現(xiàn)金流通常用LIBOR零息票 利率貼現(xiàn)。這是因?yàn)長IBOR反映了金融機(jī)構(gòu)的資金成本。這樣做的隱含假設(shè)是被定價的衍 生工具的現(xiàn)金流的風(fēng)險和銀行同業(yè)拆借市場的風(fēng)險相同。 （二）運(yùn)用債券組合給利率互換定價 考慮一個2003年9月1日生效的三年期的利率互換，名義本金是1億美元。B公司同意支 付給A公司年利率為5％的利息，同時A公司同意支付給B公司6個月期LIBOR的利息，利息 每半年支付一次。 圖16.1 A公司與B公司的利率互換 表16－1　利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表（百萬美元） |日期 |LIBOR(5%) |收到的浮動利|支付的固定利|凈現(xiàn)金流 | | | |息 |息 | | |2003.9.1 |4.20 | | | | |2004.3.1 |4.80 |+2.10 |－2.50 |－0.40 | |2004.9.1 |5.30 |+2.40 |－2.50 |－0.10 | |2005.3.1 |5.50 |+2.65 |―2.50 |＋0.15 | |2005.9.1 |5.60 |+2.75 |－2.50 |＋0.25 | |2006.3.1 |5.90 |+2.80 |－2.50 |＋0.30 | |2006.9.1 |6.40 |+2.95 |－2.50 |＋0.45 | 上述利率互換可以看成是兩個債券頭寸的組合。雖然利率互換不涉及本金交換，我們 可以假設(shè)在合約的到期日，A支付給B1億美元的名義本金，同時B也支付給A1億美元的名 義本金。這不會改變互換雙方的現(xiàn)金流，所以不會改變互換的價值。這樣，利率互換可 以分解成： 1.B公司按6個月LIBOR的利率借給A公司1億美元。 　　2.A公司按5%的年利率借給B公司1億美元。 換個角度看，就是B公司向A公司購買了一份1億美元的浮動利率（LIBOR）債券，同時 向A公司出售了一份1億美元的固定利率（5％的年利率，每半年付息一次）債券。因此， 對B公司而言，這個利率互換的價值就是浮動利率債券與固定利率債券價值的差。 定義 [pic]:互換合約中分解出的固定利率債券的價值。 [pic]:互換合約中分解出的浮動利率債券的價值。 那么，對B公司而言，這個互換的價值就是 [pic]　　　　　　　　　　　　?。?6.1） 為了說明公式（16.1）的運(yùn)用，定義 [pic]：距第[pic]次現(xiàn)金流交換的時間（[pic]）。 [pic]：利率互換合約中的名義本金額。 [pic]：到期日為[pic]的LIBOR零息票利率。 [pic]：支付日支付的固定利息額。 那么，固定利率債券的價值為 [pic] 接著考慮浮動利率債券的價值。根據(jù)浮動利率債券的性質(zhì)，在緊接浮動利率債券支付 利息的那一刻，浮動利率債券的價值為其本金[pic]。假設(shè)下一利息支付日應(yīng)支付的浮動 利息額為[pic]（這是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮動利率債券的價值 為[pic]。在我們的定義中，距下一次利息支付日還有[pic]的時間，那么今天浮動利率 債券的價值應(yīng)該為： [pic] 公式（16.1）給出了利率互換對一個支付固定利率、收入浮動利率的公司的價值，當(dāng) 一個公司收入固定利率，支付固定利率的時候，互換對該公司的價值為 [pic]　　　　　　　　　　　?。?6.2） 例16.1 假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)支付6個月期的LIBOR，同時收取8％的年利率 （半年計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個月、9個月和1 5個月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6個月L IBOR為10.2％（半年計(jì)一次復(fù)利）。在這個例子中[pic]萬，[pic]萬，因此 [pic]億 [pic]億 因此，利率互換的價值為 98.4－102.5＝－$427萬 如果銀行持有相反的頭寸——收入浮動利率、支付固定利率，那么互換對銀行的價值就 是＋427萬美元。 利率互換中固定利率一般選擇使互換初始價值為0的那個利率，在利率互換的有效期 內(nèi)，它的價值有可能是負(fù)的，也有可能是正的。這和遠(yuǎn)期合約十分相似，因此利率互換 也可以看成遠(yuǎn)期合約的組合。 （二）運(yùn)用遠(yuǎn)期利率協(xié)議給利率互換定價 遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）是這樣一筆合約，合約里事先確定將來某一時間一筆借款的利 率。不過在FRA執(zhí)行的時候，支付的只是市場利率與合約協(xié)定利率的利差。如果市場利率 高于協(xié)定利率，貸款人支付給借款人利差，反之由借款人支付給貸款人利差。所以實(shí)際 上FRA可以看成一個將用事先確定的利率交換市場利率的合約。很明顯，利率互換可以看 成是一系列用固定利率交換浮動利率的FRA的組合。只要我們知道組成利率互換的每筆F RA的價值，就計(jì)算出利率互換的價值。 考慮表16.1中的B公司，在這個利率互換中，B公司和A公司交換了6次現(xiàn)金流。第一次 現(xiàn)金流交換在互換簽訂的時候就知道了，其它5次利息的交換可以看成是一系列的FRA。 2004年9月1日的利息交換可以看成是用5％的利率交換在2004年3月1日的6個月的市場利 率的FRA，2005年3月1日的利息交換可以看成是用5％的利率交換在2004年9月1日的6個月 的市場利率的FRA，依此類推。 只要知道利率的期限結(jié)構(gòu)，我們就可以計(jì)算出FRA對應(yīng)的遠(yuǎn)期利率和FRA的價值，因此 運(yùn)用FRA給利率互換定價的步驟如下： 1.計(jì)算遠(yuǎn)期利率。 2.確定現(xiàn)金流。 3.將現(xiàn)金流貼現(xiàn)。 例16.2 我們再看例16.1中的情形。3個月后要交換的現(xiàn)金流是已知的，金融機(jī)構(gòu)是用10.2％ 的年利率換入8％年利率。所以這筆交換對金融機(jī)構(gòu)的價值是 [pic] 為了計(jì)算9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值，我們必須先計(jì)算從現(xiàn)在開始3個月到9個月 的遠(yuǎn)期利率。根據(jù)遠(yuǎn)期利率的計(jì)算公式[1]，3個月到9個月的遠(yuǎn)期利率為 [pic] 10.75％的連續(xù)復(fù)利對應(yīng)的每半年計(jì)一次復(fù)利的利率為 [pic]=0.11044 所以，9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為 [pic] 同樣，為了計(jì)算15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值，我們必須先計(jì)算從現(xiàn)在開始9個月 到15個月的遠(yuǎn)期利率。 [pic] 11.75％的連續(xù)復(fù)利對應(yīng)的每半年計(jì)一次復(fù)利的利率為[2] [pic]=0.12102 所以，15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為 [pic] 那么，作為遠(yuǎn)期利率協(xié)議的組合，這筆利率互換的價值為 [pic] 這個結(jié)果與運(yùn)用債券組合定出的利率互換價值一致。 2. 貨幣互換的定價 （一）運(yùn)用債券組合給貨幣互換定價 在沒有違約風(fēng)險的條件下，貨幣互換一樣也可以分解成債券的組合，不過不是浮動利 率債券和固定利率債券的組合，而是一份外幣債券和一份本幣債券的組合。 假設(shè)A公司和B公司在2003年10月1日簽訂了一份5年期的貨幣互換協(xié)議。如圖16.2所示 ，合約規(guī)定A公司每年向B公司支付11％的英鎊利息并向B公司收取8％的美元利息。本金 分別是1500萬美元和1000萬英鎊。A公司的現(xiàn)金流如表16.2所示。A公司持有的互換頭寸 可以看成是一份年利率為8％的美元債券多頭頭寸和一份年利率為11％的英鎊債券空頭頭 寸的組合。 圖16.2 A公司和B公司的貨幣互換流程圖 表16－2　貨幣互換中A公司的現(xiàn)金流量表（百萬） |日期 |美元現(xiàn)金流 |英鎊現(xiàn)金流 | |2003.10.1 |－15.00 |＋10.00 | |2004.10.1 |+1.20 |－1.10 | |2005.10.1 |+1.20 |－1.10 | |2006.10.1 |+1.20 |―1.10 | |2007.10.1 |+1.20 |－1.10 | |2008.10.1 |+16.20 |－11.10 | 如果我們定義[pic]為貨幣互換的價值，那么對收入本幣、付出外幣的那一方： [pic] 其中[pic]是用外幣表示的從互換中分解出來的外幣債券的價值；[pic]是從互換中分 解出來的本幣債券的價值；[pic]是即期匯率（直接標(biāo)價法）。 對付出本幣、收入外幣的那一方： [pic] 例16.3 假設(shè)在美國和日本LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是4％而在美國是9％（都是 連續(xù)復(fù)利），某一金融機(jī)構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為5％，同時付出美元 ，利率為8％。兩種貨幣的本金分別為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年的 期限，即期匯率為1美元＝110日元。如果以美元為本幣，那么 [pic]萬美元 [pic]萬日元 貨幣互換的價值為 [pic]154.3萬美元 如果該金融機(jī)構(gòu)是支付日元收入美元，則貨幣互換對它的價值為－154.3百萬美元。 （二）運(yùn)用遠(yuǎn)期組合給貨幣互換定價 貨幣互換還可以分解成一系列遠(yuǎn)期合約的組合，貨幣互換中的每一次支付都可以用一 筆遠(yuǎn)期外匯協(xié)議的現(xiàn)金流來代替。因此只要能夠計(jì)算貨幣互換中分解出來的每筆遠(yuǎn)期外 匯協(xié)議的價值，就可以知道對應(yīng)的貨幣互換的價值。 例16.4 我們看例16.3，即期匯率為1美元＝110日元，或者是1日元＝0.009091美元。因?yàn)槊?元和日元的年利差為5％，根據(jù)[pic]，一年期、兩年期和三年期的遠(yuǎn)期匯率分別為 [pic] [pic] [pic] 與利息交換等價的三份遠(yuǎn)期合約的價值分別為 [pic] [pic] [pic] 與最終的本金交換等價的遠(yuǎn)期合約的價值為 [pic] 所以這筆互換的的價值為[pic]，和運(yùn)用債券組合定價的結(jié)果一致。 第二節(jié) 互換套利 一、互換套利 從上一章對互換種類的介紹可以看出，互換中的各方可以利用各自在不同市場上的比 較優(yōu)勢與對方相交換并獲利——套利。我們可以將互換套利的基本過程歸納為幾個獨(dú)立步 驟：（1）建立成本/融資渠道矩陣；（2）確定各方的比較優(yōu)勢；（3）組織互換；（4） 為互換定價。 在確定互換套利之前，必須對不同借款者在某些市場的有關(guān)融資成本和融資渠道建立 一個矩陣。矩陣建立起來后，互換雙方的利息成本差異可通過識別比較優(yōu)勢來確定。 對雙方有關(guān)比較優(yōu)勢進(jìn)行識別，是指對它們在不同市場的融資成本進(jìn)行計(jì)算。在識別 了雙方各具比較優(yōu)勢的市場之后，便可組織互換。各方可以在其具有比較優(yōu)勢的融資市 場籌資，然后通過互換，將其所籌資金的利率和貨幣轉(zhuǎn)換為其各自所希望的形式和種類 。 對互換比較優(yōu)勢進(jìn)行分析后即可對互換進(jìn)行定價。 下面我們用美元利率互換市場的一個例子對這一方法進(jìn)行解釋。假設(shè)美元市場利率情 況如下，見表16.3： 表16－3 美元市場利率 | |固定利率融資（3年期）|浮動利率融資（3年期）| |美國政府 |B |LIBOR－40 | |AAA級機(jī)構(gòu) |B+20 |LIBOR－20 | |跨國公司 |B+30 |LIBOR－20 | |AA級銀行 |B+65 |LIBOR－15 | |A級或BBB級銀行 |B+95 |LIBOR－5 | |最優(yōu)惠法人 |B+120 |LIBOR+20 | |較低利率法人 |B+250 |LIBOR+75 | 注：B+30是指美元3年期國庫券的現(xiàn)時利率+0.30%pa；LIBOR－40是指美元6月期LIBOR—0 .40%pa。 在上述條件下，互換交易可能出現(xiàn)的一種情況如圖16.3所示?；Q套利的具體步驟可 進(jìn)一步解釋如下： 1．首先，對互換的兩個對手加以識別。這里假設(shè)一方是AAA級機(jī)構(gòu)，另一方是最優(yōu)惠 利率法人。 B+20 圖16.3 美元利率互換套利 2．根據(jù)列出的成本/融資渠道矩陣可以看出，AAA級機(jī)構(gòu)與最優(yōu)惠法人的固定利率利 差為100個基點(diǎn)，浮動利率利差為40個基點(diǎn)。 3．利差情況表明，AAA級機(jī)構(gòu)在固定利率市場上有比較優(yōu)勢。強(qiáng)調(diào)一下，AAA級機(jī)構(gòu) 在兩個市場上都具有絕對優(yōu)勢。之所以認(rèn)為AAA級機(jī)構(gòu)在固定利率市場上有比較優(yōu)勢，是 因?yàn)殡p方在固定利率市場上的利差大于在浮動利率市場上的利差。顯然，最優(yōu)惠利率法 人在浮動利率市場上有比較優(yōu)勢。 4．在給定比較成本結(jié)構(gòu)下，雙方可以組織一個互換交易，各自發(fā)揮其比較優(yōu)勢，即 先由AAA級機(jī)構(gòu)在固定利率市場借入資金，最優(yōu)惠利率法人在浮動利率市場借入資金。通 過互換，AAA級機(jī)構(gòu)收入固定利率并支付浮動利率，而最優(yōu)惠利率法人則收入浮動利率并 支付固定利率。 5．互換定價的上下限通過以下步驟確定： （1）AAA級機(jī)構(gòu)將在互換中收入的固定利率不低于B+40；而這樣一來，其浮動利率融 資成本將與其直接融資成本相同，為LIBOR-20。 （2）最優(yōu)...
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