第十四章 利率期權(quán)
第14章 利率期權(quán) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過(guò)本章的學(xué)習(xí)要掌握利率期權(quán)的基本含義，利率期權(quán)市場(chǎng)的基本情況 ，主要的利率期權(quán)，包括利率期貨期權(quán)，場(chǎng)外市場(chǎng)期權(quán)，以及內(nèi)嵌在債務(wù)工具中期權(quán)。 還要掌握為利率期權(quán)定價(jià)的解析工具。期權(quán)調(diào)整差額(Option Adjusted Spread, OAS)的含義。要理解利率期權(quán)定價(jià)的核心——布萊克模型。 第一節(jié) 利率期權(quán)市場(chǎng) 我們可以將利率期權(quán)分成三類(lèi)：交易所交易的，場(chǎng)外市場(chǎng)交易的和內(nèi)嵌在金融工具里 的利率期權(quán)。 一、交易所交易的利率期權(quán) 交易所交易的利率期權(quán)主要是指利率期貨期權(quán)，此外還有一些債券期權(quán)，在第13章， 我們討論了期貨期權(quán)定價(jià)的一般情況，在這一章，我們將通過(guò)利率期貨期權(quán)更加深入地 討論這一問(wèn)題。 主要利率期貨期權(quán)是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。 二、場(chǎng)外市場(chǎng)交易的利率期權(quán) 場(chǎng)外市場(chǎng)上的利率期權(quán)不像內(nèi)嵌在其他金融工具中的利率期權(quán)，它是單獨(dú)直接交易的 ，它也是利率期權(quán)發(fā)展和創(chuàng)新的根源。因?yàn)閳?chǎng)外交易市場(chǎng)幾乎完全是私下進(jìn)行的，所以 沒(méi)有關(guān)于市場(chǎng)規(guī)模和交易活動(dòng)的完整、精確的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。不過(guò)，我們有可能確定其市場(chǎng) 規(guī)模的下限，因?yàn)槲覀兛梢岳糜袃蓚€(gè)數(shù)據(jù)來(lái)源，一個(gè)是國(guó)際互換和衍生工具協(xié)會(huì)（In ternational Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA會(huì)定期調(diào)查其成員的交易規(guī)模和營(yíng)業(yè)資產(chǎn)；還有一個(gè)是美國(guó) 貨幣審計(jì)辦公室（Office of the Comptroller），它要求商業(yè)銀行提交衍生產(chǎn)品交易的報(bào)告。 在場(chǎng)外交易市場(chǎng)上，名義本金的概念是很關(guān)鍵的。名義本金可以通過(guò)與期貨和期貨期 權(quán)市場(chǎng)的類(lèi)比來(lái)理解。舉個(gè)例子，一份歐元期貨合約（或一份歐元期貨期權(quán)合約）的本 金是$1,000,000，不過(guò)這一百萬(wàn)美元并不是合約中實(shí)際的投資或風(fēng)險(xiǎn)暴露頭寸，這一百 萬(wàn)美元類(lèi)似于OTC上的名義本金。名義本金是用來(lái)計(jì)算利息額的本金數(shù)量，它既不是實(shí)際 的風(fēng)險(xiǎn)暴露，也不進(jìn)行實(shí)際的支付，只是計(jì)算利息流的基礎(chǔ)。 根據(jù)ISDA的報(bào)告，到1997年，場(chǎng)外市場(chǎng)上交易的利率期權(quán)的名義本金已超過(guò)5萬(wàn)億美 元，在過(guò)去10年每年以接近35％的速度增長(zhǎng)。ISDA的數(shù)據(jù)在一定程度上低估了場(chǎng)外市場(chǎng) 的發(fā)展，因?yàn)樗话?01個(gè)會(huì)員的數(shù)據(jù)，不過(guò)僅此數(shù)據(jù)就表明場(chǎng)外市場(chǎng)的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò) 了交易所市場(chǎng)的發(fā)展。 而貨幣控制辦公室（OCC）的報(bào)告顯示，475家商業(yè)銀行和信托公司在交易所和場(chǎng)外市 場(chǎng)上均有大量的衍生證券頭寸，它們的報(bào)告沒(méi)有將利率期權(quán)和其他衍生工具區(qū)分開(kāi)來(lái)， 但可以斷言銀行的期權(quán)頭寸主要是利率期權(quán)頭寸。1997年，這些銀行持有的交易所期權(quán) 頭寸為1.363萬(wàn)億美元，場(chǎng)外市場(chǎng)期權(quán)頭寸為4.598萬(wàn)億美元，兩者都是用名義本金來(lái)衡 量的。貨幣控制辦公室（OCC）的報(bào)告還顯示，場(chǎng)外市場(chǎng)交易的期權(quán)和交易所交易的期權(quán) 的比例約為3比1。 這些數(shù)據(jù)和ISDA報(bào)告的數(shù)據(jù)不是獨(dú)立的，每份期權(quán)合約都有買(mǎi)方和賣(mài)方，因此可能銀 行的一些期權(quán)頭寸在ISDA的調(diào)查中已經(jīng)包括了，而且一些銀行的衍生證券部也是ISDA的 會(huì)員，這些銀行的期權(quán)頭寸就可能被計(jì)算兩次，這說(shuō)明統(tǒng)計(jì)場(chǎng)外市場(chǎng)交易的利率期權(quán)是 很困難的。不過(guò)，至少有一點(diǎn)是清楚的，利率期權(quán)的市場(chǎng)規(guī)模巨大，名義本金的頭寸以 萬(wàn)億計(jì)。 三、內(nèi)嵌的利率期權(quán) 除了在交易所和場(chǎng)外市場(chǎng)直接交易的利率期權(quán)，有大量的利率期權(quán)是內(nèi)嵌在其他證券 之中的。這些利率期權(quán)一般是內(nèi)嵌在可贖回的公司息票債券和抵押債務(wù)中。 在美國(guó)，長(zhǎng)期公司債券一般是息票債券，而且是可贖回的。贖回條款允許發(fā)行公司在 特定的時(shí)間以特定的價(jià)格從投資者手中買(mǎi)回債券，即發(fā)行公司擁有一個(gè)內(nèi)嵌在債券合約 中的期權(quán)。這個(gè)贖回條款在本質(zhì)上是一個(gè)利率期權(quán)，因?yàn)橼H回條款的價(jià)值依賴(lài)于債券的 價(jià)值，而債券的價(jià)值依賴(lài)于利率。幾年前發(fā)行的美國(guó)國(guó)庫(kù)券也有贖回條款，但現(xiàn)在沒(méi)有 了。廣泛存在的贖回條款說(shuō)明內(nèi)嵌的利率期權(quán)大量存在，這些內(nèi)嵌的利率期權(quán)對(duì)債券的 市場(chǎng)價(jià)值有顯著影響，我們將看到，債券的期權(quán)特征會(huì)影響債券價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的反應(yīng) 方式。 另外一類(lèi)主要的內(nèi)嵌的利率期權(quán)存在于抵押的不動(dòng)產(chǎn)之中。幾乎所有的不動(dòng)產(chǎn)抵押都 含有提前償還條款，它允許借款人在抵押到期前提前償還負(fù)債，這個(gè)提前償還條款是貸 款人提供給借款人的。不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款的余額以萬(wàn)億美元計(jì)，多數(shù)抵押貸款會(huì)在到期前 提前償還，這意味著提前償還期權(quán)一般會(huì)被執(zhí)行。 在美國(guó)，住房抵押貸款一般是抵押銀行用來(lái)形成抵押擔(dān)保證券的基礎(chǔ)。在本質(zhì)上，抵 押擔(dān)保證券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一個(gè)組合或不動(dòng)產(chǎn)抵押池。MBS的投資者投資于由抵押貸款構(gòu)成的組合，并按事 先確定的比例參與組合現(xiàn)金流的分配。一旦抵押貸款被納入資產(chǎn)池，政府抵押協(xié)會(huì)(Gov ernment National Mortgage Association, GNMA)或聯(lián)邦抵押協(xié)會(huì)( Federal National Mortgage Association, FNMA )會(huì)提供違約風(fēng)險(xiǎn)的擔(dān)保。因此MBS的收益率在考慮提前償還的期權(quán)后略高于國(guó)庫(kù)券的收 益率。 在組成MBS的抵押貸款中，每期都有一些被提前償還。提前償還住房抵押貸款的原因 主要有兩個(gè)：首先是一些人賣(mài)掉了住房，其次是為了利用更有利的再融資利率。從MBS的 投資者角度看，第二個(gè)原因更重要。 再融資一般會(huì)在現(xiàn)在的市場(chǎng)利率大大低于抵押貸款的合同利率的時(shí)候發(fā)生。當(dāng)MBS中 的抵押貸款出現(xiàn)提前償還的時(shí)候，MBS的投資者收到提前償還款項(xiàng)的一部分。從MBS投資 者角度看，本金的償還是不受歡迎的，因?yàn)檫@主要出現(xiàn)在利率很低的時(shí)候，MBS的投資者 將面臨以一個(gè)更低的利率投資。 提前償還的定價(jià)是復(fù)雜的，因?yàn)樘崆皟斶€不但依賴(lài)于利率的變動(dòng)，還依賴(lài)于人口統(tǒng)計(jì) 學(xué)。一些抵押貸款的提前償還率更高，是因?yàn)榻杩钊烁鼉A向于賣(mài)掉房子，這些人的流動(dòng) 性和跳槽比例都比較高。因此住房抵押貸款中內(nèi)嵌的提前償還期權(quán)很復(fù)雜，而且對(duì)理解 MBS的定價(jià)非常重要。MBS專(zhuān)家要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，考慮提前償還。 除了住房抵押貸款，另外一類(lèi)MBS是證券化的抵押支持證券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。CMO是通過(guò)將抵押貸款的現(xiàn)金流分解后從新打包以滿(mǎn)足不同投資者的需求。這個(gè)打 包稱(chēng)為部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它們被出售給不同的投資者。此外，抵押貸款也可 以剝離成利息和本金量部分，在一個(gè)典型的抵押貸款中，每個(gè)月的償還額中的一部分是 償還當(dāng)月的利息，剩下的部分是償還本金。一個(gè)利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類(lèi)似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。 對(duì)于可贖回的債券和抵押貸款而言，理解它的價(jià)值和投資特征依賴(lài)于理解其中內(nèi)嵌的 期權(quán)帶來(lái)的影響。一般將含有內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具價(jià)格分解成兩部分，主體價(jià)值和期權(quán) 價(jià)值，主體價(jià)值是不含期權(quán)的同類(lèi)工具的價(jià)值。 含內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具的價(jià)值＝主體價(jià)值±期權(quán)價(jià)值 內(nèi)嵌期權(quán)既可能增加主體的價(jià)值，也有可能降低主體的價(jià)值。舉個(gè)例子，可贖回債券 中的贖回條款是發(fā)行者擁有的一個(gè)看漲期權(quán)，從投資的角度看，它降低了債券的價(jià)值。 可在抵押貸款中，借款人擁有一個(gè)提前償還的期權(quán)。在這兩種主要的內(nèi)嵌期權(quán)中，借款 人擁有期權(quán)，因此期權(quán)降低了資產(chǎn)的價(jià)值，提高了資產(chǎn)的收益率。 第二節(jié) 利率期權(quán)的定價(jià) 一、經(jīng)過(guò)期權(quán)調(diào)整的價(jià)差 現(xiàn)在我們開(kāi)始討論利率期權(quán)的定價(jià)，利率期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵是利率期限結(jié)構(gòu)。在討論定 價(jià)模型之前，我們還需要了解經(jīng)過(guò)期權(quán)調(diào)整的價(jià)差（Option-Adjusted Spread，OAS），OAS度量的是考慮了期權(quán)以后，以上內(nèi)嵌了期權(quán)的金融工具和國(guó)債收益 率的差值。 為了計(jì)算某個(gè)金融工具的OAS，首先利用政府長(zhǎng)期零息票收益率曲線(xiàn)進(jìn)行估值，并將 該值輸入到新的定價(jià)模型中去。將模型給出的該金融工具的價(jià)格與它在市場(chǎng)中的價(jià)格進(jìn) 行比較。運(yùn)用一系列迭代過(guò)程以確定平行漂移到所輸入的國(guó)債收益率曲線(xiàn)的平行漂移量 ，該量將使得模型的價(jià)格等于市場(chǎng)的價(jià)格。這個(gè)平行漂移量就是OAS。 舉個(gè)例子，假設(shè)市場(chǎng)價(jià)格是＄102.00，利用國(guó)債收益曲線(xiàn)計(jì)算出的價(jià)格為＄103.27。 作為第一步試算，我們可以選擇平等漂移到國(guó)債零息票曲線(xiàn)的平行漂移量為60個(gè)點(diǎn)。假 設(shè)這個(gè)漂移量給出該金融工具價(jià)格為＄101.20。這低于＄102.00的價(jià)格，意味著在0和6 0點(diǎn)之間的某個(gè)平行漂移量將使得模型所計(jì)算的價(jià)格等于市場(chǎng)價(jià)格。自然我們利用線(xiàn)性插 值計(jì)算得： [pic] 即36.81點(diǎn)，將它作為下一次試算的漂移量。假設(shè)這個(gè)漂移量給出的價(jià)格為＄101.95 。這說(shuō)明OAS比36.81點(diǎn)要稍微小一些。線(xiàn)性插值給出的下一次試算的漂移量為： [pic] 即35.41點(diǎn)；如此等等。 二、布萊克（Black）模型與利率期權(quán)的定價(jià) 自從1973年布萊克－舒爾斯（Black- Scholes）期權(quán)公式首次公布以來(lái)，該公式已成為非常流行的工具。正如在第十三章所述 ，該模型經(jīng)過(guò)擴(kuò)展之后，可為貨幣期權(quán)、指數(shù)期權(quán)以及期貨期權(quán)估值。交易員已經(jīng)非常 習(xí)慣于支撐該模型的對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)和用來(lái)描述不確定性的波動(dòng)率測(cè)度。為了將該模 型運(yùn)用于利率衍生證券的定價(jià)，人們做了各種擴(kuò)展。 在利率衍生證券領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的布萊克－舒爾斯擴(kuò)展模型是發(fā)表于1976年的Black 模型，起初開(kāi)發(fā)該模型是為了給商品期貨期權(quán)進(jìn)行估值。該模型擴(kuò)展后為范圍廣泛的歐 式期權(quán)估值提供了一個(gè)靈活的框架。我們還將給出一些例子說(shuō)明Black模型如何應(yīng)用于利 率期權(quán)的定價(jià)。 （一）運(yùn)用Black模型為歐式期權(quán)定價(jià) 考慮一個(gè)基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機(jī)變量并定義： [pic]：期權(quán)到期日 [pic]：在期限為T(mén)的合約中的V的未來(lái)價(jià)格 [pic]：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格 [pic]：期限為T(mén)的零息票收益 [pic]：[pic]的波動(dòng)率 [pic]：在時(shí)刻T時(shí)V的價(jià)值 [pic]：在時(shí)刻T時(shí)F的價(jià)值 在時(shí)刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是[pic]，由于[pic]，因此我們可認(rèn)為在T時(shí)刻的期權(quán)盈利 狀態(tài)為[pic]，Black模型給出0時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的價(jià)值c為： [pic] （14.1） 其中 [pic] [pic] 相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值p為： [pic] （14.2） （二）Black模型的擴(kuò)展 Black模型假設(shè)F的波動(dòng)率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個(gè)假設(shè)。由于我們是為歐式期 權(quán)進(jìn)行估值，我們并不關(guān)心時(shí)刻T之前的V值或F值。我們僅只是要求在T時(shí)刻V服從對(duì)數(shù)正 態(tài)分布。由于F是[pic]在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，我們能夠利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法推 導(dǎo)出方程式（14.1）和（14.2）的充分條件如下： 1．[pic]的概率分布是對(duì)數(shù)正態(tài)分布； 2．ln[pic]的標(biāo)準(zhǔn)偏差是[pic]； 3．利率是非隨機(jī)變量。 當(dāng)利率是非隨機(jī)變量時(shí)，期貨價(jià)格和遠(yuǎn)期價(jià)格是相同的。因此，對(duì)T時(shí)刻到期的某個(gè) 合約而言，變量F可定義為V的遠(yuǎn)期價(jià)格。 總之，只要假設(shè)利率是非隨機(jī)變量，期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，任何時(shí) 候我們都可以利用方程式（14.1）和（14.2）為歐式期權(quán)估值。在方程式中的變量F可定 義為T(mén)時(shí)刻到期的某個(gè)合約中的標(biāo)的變量的遠(yuǎn)期價(jià)格。 由于我們并沒(méi)有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么定義變量[pic]為波動(dòng)率并 不嚴(yán)格。現(xiàn)實(shí)中，它不過(guò)是一個(gè)具有如下特性的變量，即[pic]是[pic]的標(biāo)準(zhǔn)偏差。為 了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們定義[pic]為T(mén)時(shí)刻V的波動(dòng)率測(cè)度（Volatility Measure）。 進(jìn)一步擴(kuò)展Black模型，我們可允許給出盈利的時(shí)刻不是T時(shí)刻，例如假設(shè)從T時(shí)刻的 變量V的值計(jì)算出期權(quán)的盈利，但是該盈利延遲到[pic]時(shí)刻，其中[pic]。在這種情況下 ，有必要從時(shí)刻[pic]而不是從時(shí)刻T貼現(xiàn)該盈利。我們定義[pic]為到期日為[pic]的零 息票收益率，于是方程式（14.1）和（14.2）變?yōu)椋?[pic] （14.3） [pic] （14.4） 其中 [pic] [pic] （三）適用的利率 人們廣泛使用（14.1）到（14.4）為利率期權(quán)估值。變量V可以是利率、債券價(jià)格、 或兩個(gè)利率之間的價(jià)差。變量F等于V的遠(yuǎn)期價(jià)格。用于貼現(xiàn)的變量[pic]和[pic]是從計(jì) 算出來(lái)的零息票收益率。 當(dāng)Black模型按這種方式運(yùn)用時(shí)，出現(xiàn)了兩種近似情況： 1．假設(shè)V的遠(yuǎn)期價(jià)格等于它的期貨價(jià)格，因此等于[pic]在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值 ，但是，當(dāng)利率是隨機(jī)變量時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格并不相等。 2．即使計(jì)算期權(quán)盈利時(shí)刻這些利率假設(shè)為隨機(jī)變量，也假設(shè)用來(lái)貼現(xiàn)的這些利率為 常數(shù)。 如果這些情況發(fā)生了的話(huà)，這兩個(gè)近似具有相互抵消的效應(yīng)。因此，在為歐式利率期 權(quán)估值時(shí)，Black模型比所期望的具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。 （四...
第十四章 利率期權(quán)