第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 討論隨機(jī)變量數(shù)字特征的原因 1. 在實(shí)際問題中，有的隨機(jī)變量的概率分布 難確定，有的不可能知道，而它的一些數(shù)字特征較易確定。 （2）實(shí)際應(yīng)用中，人們更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二項(xiàng)分布、泊松 分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體 的分布。 §4.1 數(shù)學(xué)期望 一、數(shù)學(xué)期望的概念 1.離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例4．1：大學(xué)一年級(jí)某班有32名同學(xué)，年齡情況如下： |年齡 |17 |18 |19 |20 |21 |22 | |人數(shù) |2 |7 |10 |8 |4 |1 | 求該班同學(xué)的平均年齡。 解： 平均年齡=[pic] [pic] 把上式改寫為： [pic] 設(shè)X為從該班任選一名同學(xué)的年齡，其概率分布為 |X |17 |18 |19 |20 |21 |22 | |P |2/32 |7/32 |10/32 |8/32 |4/32 |1/32 | 定義4.1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為： |[pic] |x1 |x2 |x3 |…. |xk |…. | |[pic] |p1 |p2 |p3 |…. |Pk |…. | 若[pic]絕對(duì)收斂（即[pic]），則稱它為X的數(shù)學(xué)期望或均值（此時(shí)，也稱X的數(shù)學(xué)期望 存在），記為E(X),即 若[pic] 發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。 說明： （1）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均； 2. 要注意數(shù)學(xué)期望存在的條件：[pic]絕對(duì) 收斂； 3. 當(dāng)X服從某一分布時(shí)，也稱某分布的數(shù)學(xué) 期望為EX 。 例4．2：設(shè)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求EX EX=p 例4．3：設(shè)X(B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：設(shè)X服從參數(shù)為(的泊松分布，求EX EX=[pic] 2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義4.2: 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為f(x).若積分[pic][pic]絕對(duì)收斂，（即[pic]），則稱它為X的數(shù)學(xué)期望或 均值（此時(shí)，也稱X的數(shù)學(xué)期望存在），記為E(X),即 [pic] 若[pic]，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。 例4.5:設(shè)X服從U[a,b],求E(X)。 EX=[pic] 例4.6:設(shè)X服從參數(shù)為(的指數(shù)分布，求EX EX=[pic] 例4.7:[pic]，求EX EX=[pic] 下面分析書上P101---P104例。 1. P101 2. P101 3. P102---103 解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一輛車到站，所以(i)8:00到車站的旅客在8:50前一定會(huì)上車，而(ii )8:20到車站的旅客則可以直到9:50才會(huì)上車。 例4 P103 3.隨機(jī)變量函數(shù)得數(shù)學(xué)期望 定理4.1:設(shè)隨機(jī)變量X的函數(shù)為Y =g(X)， 1) 若離散型隨機(jī)變量X的分布律為 [pic],k =1,2,… ，[pic]絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且 [pic] 2) 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x), Y =g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，[pic]絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且 [pic][pic] 定理4.2:設(shè)二維隨機(jī)變量（X ,Y )的函數(shù)Z=g(x,y) 1) 若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律 為 [pic] 且有[pic]絕對(duì)收斂，則Z的數(shù)學(xué)期望存在，且 [pic] 2) 若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密 度為 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是連續(xù)型隨機(jī)變量,并且[pic]絕對(duì)收斂，則Z的數(shù)學(xué)期望存在，且 [pic] 例5 P106 例6 P107 例7 P107 以下為第一版例。 例4.8:設(shè)X(U(0,((，Y=[pic],求E(Y )。 例4.9:設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律為 [pic] 其中[pic] 求E(XY)。 二.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 性質(zhì)1:若c為常數(shù)，則 E(c)=c。 性質(zhì)2:若c為常數(shù)，隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望存在，則:cX的數(shù)學(xué)期望存在，且E(cX)=cE(X) 性質(zhì)3:若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分量X,Y的數(shù)學(xué)期望都存在，則X+Y的數(shù)學(xué)期望存在，且 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 推論:若n維隨機(jī)變量（X1,X2,...,[pic])的分量X1,X2,...,[pic]的數(shù)學(xué)期望都存在，則 X1 + X2 +...+[pic]的數(shù)學(xué)期望存在，且 [pic] 性質(zhì)4:若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的數(shù)學(xué)期望都存在，則X(Y的數(shù)學(xué)期望存在，且 [pic] 推論:若隨機(jī)變量X1,X2,....,Xn相互獨(dú)立，它們的數(shù)學(xué)期望都存在，則X1X2…Xn的數(shù)學(xué)期 望存在,且 [pic] 性質(zhì)5:若隨機(jī)變量只取非負(fù)值，又E(X)存在，則E(X)(0。 [pic] [pic]若[pic]對(duì)任何[pic][pic]，[pic]存在，則 [pic] [pic]。 [pic]特別地，若[pic]為常數(shù)，[pic]存在，則[pic]。 例8 P109 例9 P110 第一版例 例4.14：設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件。今從中任取n（假定n≤N- M）件，記這n件中所含次品數(shù)為X，求E（X）。 三.綜合性的例題（第一版） 例:設(shè)X的概率密度為 [pic]， 其中a,b為常數(shù)，且E（X）=[pic]。求a,b的值。 注意：f(x)中有幾個(gè)未知數(shù)要建幾個(gè)方程來求之。 例: 射擊比賽規(guī)定：每位射手向目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊四法子彈，全未中的0分，僅中一發(fā)得15分 ，恰中兩發(fā)得30分，恰中三發(fā)得55分，全中得100分。若某射手的命中率為0.6，求他得 分的數(shù)學(xué)期望。 例:某水果商店，冬季每周購(gòu)進(jìn)一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量X(單位:kg)服從U[1 000,2000]。購(gòu)進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出，1kg獲純利1.5元；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損 、儲(chǔ)藏等費(fèi)用0.3元。問一周應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤(rùn)。 §4-2 方差 一.方差的概念 1、定義4.3:設(shè)[pic]隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(X- E(X))2存在，則稱它為X的方差（此時(shí)，也稱X的方差存在），記為D(X)或Var(X),即 D(X)=E(X-E(X))2 稱D(X)的算術(shù)平方根[pic]為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為[pic]，即 [pic] 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)5知，若隨機(jī)變量X的方差D(X)存在，則D(X)(0。簡(jiǎn)言之，方差是一個(gè) 非負(fù)實(shí)數(shù)。 當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為D(X)。 2、計(jì)算方差 （1）若X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為pi=P(X=xi),i=1,2,...,且D(X)存在，則 [pic] （2）若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),且D(X)存在，則 [pic] （第一版） 例1：設(shè)X(B(1,p)，求D(X) 例2：設(shè)X(N((,(2)，求D(X) 例3：設(shè)X(U[a,b]，求D(X) (3)D(X)=E(X2)-(EX)2 證明：P112. 1. P112 2. P112 （第一版） 例4：設(shè)X(((()，求D(X) 例5：已知[pic][pic]，求[pic] 二.方差的性質(zhì) 性質(zhì)1:若C為常數(shù)，則 D(C)=0 性質(zhì)2:若C為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在，則CX的方差存在，且 D(CX)=C2D(X) 證明由自己完成 性質(zhì)3:若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的方差都存在，則X(Y的方差也存在，且 D(X(Y)=D(X)+D(Y) 證明：P113 推論:若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，它們的方差都存在，則X1+X2+...+Xn的方差存在 ，且 [pic] 性質(zhì)4:若隨機(jī)變量X的方差存在，對(duì)任意的常數(shù)C(E(X),則 D(X)=[pic] ( E(X-C)2 即函數(shù)g(C)=E(X-C)2在C=E(X)處達(dá)到最小值D(X)。 性質(zhì)5若D(X)存在，則D(X)=0的充要條件是: P(X=E(X))=1 例3 P113 第一版例： 例6：X服從 B(n,p),求D(X). 例7：某種商品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)X服從泊松分布，平均每件上有0.8個(gè)疵點(diǎn)。若規(guī)定表 面不超過一個(gè)疵點(diǎn)的為一等品，價(jià)值十元，表面疵點(diǎn)數(shù)大于1不多于4的為二等品，價(jià)值 8元。某件表面疵點(diǎn)數(shù)是4個(gè)以上著為廢品，求產(chǎn)品價(jià)值的均值和方差。 已知[pic] 設(shè)產(chǎn)品價(jià)值為[pic] |[pic]取值 |0 |8 |10 | |X |(X>4) |([pic]) |(X[pic]) | |P([pic]Y=k) |P(X>4= |P([pic]) |P(X[pic]) | | |1-0.8088 |=P([pic])- |=1- | | |-0.1898 |P([pic]) |P(X[pic]) | | | |=[1-P([pic])] |=0.8088 | | | |-[1-P([pic])] | | | | |=0.1898 | | [pic] 元 [pic] [pic] 例 ：設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)存在,且D(X)(0令[pic],其中E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，求[pic]。 三．契比雪夫不等式(Chebyshev) 契比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)存在，則對(duì)任意的((0，均有 P{(X-E(X)(((} ( [pic] 或等價(jià)地 P{(X-E(X)(((}(1-[pic] 例：P{(X-E(X)((3σ}(0.8889 P{(X-E(X)((4σ}(0.9375 解：P{(X-E(X)((3σ}(1-[pic] =1-[pic] P{(X-E(X)((4σ}(1-[pic] Data; A=8/9; put a=; A=15/16; put a=; Run; A=0.8888888889 A=0.9375 §4.3 幾種生要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 P115 這部分結(jié)果很重要，要牢記。 P117， 關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量的三個(gè)重要數(shù)據(jù)： [pic] [pic] =0.6826894921 [pic] [pic] =0.9544997361 [pic] [pic] =0.9973002039 SAS的兩種計(jì)算公式： data; p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=; p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=; p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=; run; p1=0.6826894921 p2=0.9544997361 p3=0.9973002039 data; p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=; p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=; p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=; run; p1=0.6826894921 p2=0.9544997361 p3=0.9973002039 也可以驗(yàn)證數(shù)據(jù)，即以[pic]為中心，需要幾倍的標(biāo)準(zhǔn)差[pic]距離所構(gòu)成的區(qū)間，其區(qū) 間內(nèi)的概率為上述所示。 Data; q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=; q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=; q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=; run; q1=0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959 data; q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=; q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=; q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=; run; q1=0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959 注意：[pic]為中心，概率為90%,95%，98%，99%的區(qū)間，需要幾倍的標(biāo)準(zhǔn)差[pic]距離。 Data; q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=; q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=; q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=; q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=; run; q1=1.644853627 q2=1.9599639845 q3=2.326347874 q3=2.5758293035 比如，[pic] =0.95 [pic] =0.9 等的結(jié)論也是常用的。幾乎都成常識(shí)了。 書示附表1中列出了多種常用的隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)期望和方差。 §4.4 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 一.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念 1.定義 定義4.4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),它的分量的數(shù)學(xué)期望為E(X),E(Y)，若E[(X-E(X))(Y- E(Y))]存在，則稱它為X,Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 2.計(jì)算 (1)用定義計(jì)算 若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布律[pic]i,j=1,2,(，且Cov(X,Y)存在,則 Cov(X,Y)=[pic] 若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),且Cov(X,Y)存在，則 [pic] （2）、公式 在計(jì)算Cov(X,Y)時(shí)，除用定義外，有時(shí)用下述公式較方便： Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 第一版例：不講。 例 :設(shè)(X,Y)在圓域[pic]上服從均勻分布，判斷X,Y是否不相關(guān)。并求Cov(X,Y)。 例 :設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為 [pic] 其中[pic] 求 Cov(X,Y),并討論X,Y的相關(guān)性。 說明： (1)Cov(X,Y)能反映X與Y之間某種聯(lián)系的程度。 (2)Cov(X,Y)是有量綱的量，其值與(X,Y)的取值單位有關(guān)。 3.相關(guān)系數(shù) 定義4.5:若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)(0,D(Y)(0,則稱 [pic]為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為(XY,即 (XY= [pic] 定義4.6：若(XY=0則稱X,Y不相關(guān)； 若[pic]稱X,Y正相關(guān)； 若[pic]則稱X,Y負(fù)相關(guān)。 4.隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立性與不相關(guān)的關(guān)系 (1)一般情況下，設(shè)[pic]存在，若X,Y相互獨(dú)立, 則[pic]，即X,Y不相關(guān)。 反之，X,Y不相關(guān),但X,Y不一定獨(dú)立。 如例 ：（書4.31）（X，Y）在[pic]上均勻分布。可知X，Y 不相關(guān)，但X，Y不獨(dú)立。 (2)特別，對(duì)于二維正態(tài)分布(X,Y)服從 [pic] X,Y相互獨(dú)立[pic] X,Y不相關(guān)。 二 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 1.性質(zhì) 性質(zhì)1:若X,Y的協(xié)方差Cov(X,Y)存在，則 E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y) 性質(zhì)2:若(X,Y)兩個(gè)分量的方差都存在，則 D(X(Y)=D(X)+D(Y)(2Cov(X,Y) 推論:若(X1,X2,,...Xn)各分量的方差都存在，則 [pic] 性質(zhì)3:設(shè)下述各式所出現(xiàn)的協(xié)方差都存在，則有 Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y) [pic] Cov(X,X)=D(X) Cov(a,X)=0 其中a為常數(shù) 例3(第一版)：設(shè)（X，Y）~[pic]，求 Cov(2X+Y,[pic]) 性質(zhì)4:若 X,Y的相關(guān)系數(shù)[pic]存在，則 (1)([pic]((1; (2)([pic](=1的充要條件是：存在常數(shù)a,b 且a(0,使得概率為1的有Y=aX+b, 即 P(Y=aX+b)=1 證法一見書P-120. 幾點(diǎn)說明: 1) 由性質(zhì)的證明可見：[pic][pic][pic]，a>0 ，這時(shí)稱X與Y完全正相關(guān)；[pic][pic][pic]，a
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