上課材料之二
上課材料之二： 第二章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (Mathematics) 第一節(jié) 矩陣(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二節(jié) 分布函數(shù)(Distribution Function)，數(shù)學(xué)期望(Expectation)及方差(Variance) 3. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)（Mathematical Statistics） 第一節(jié) 矩陣及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩陣的基本概念與運(yùn)算 一個(gè)m×n矩陣可表示為： [pic] 矩陣的加法較為簡(jiǎn)單，若C=A+B，cij=aij+bij 但矩陣的乘法的定義比較特殊，若A是一個(gè)m×n1的矩陣，B是一個(gè)n1×n的矩陣，則C=A B是一個(gè)m×n的矩陣，而且[pic]，一般來(lái)講，AB≠BA，但如下運(yùn)算是成立的： o 結(jié)合律（Associative Law） (AB)C=A（BC） o 分配律（Distributive Law） A(B+C)=AB+AC 問(wèn)題：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？ 向量（Vector）是一個(gè)有序的數(shù)組，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一個(gè)標(biāo)量，則αA=[αaij]。 矩陣[pic]的轉(zhuǎn)置矩陣(transpose matrix)記為[pic]，是通過(guò)把[pic]的行向量變成相應(yīng)的列向量而得到。 顯然([pic])′=[pic]，而且（[pic]+[pic]）′=[pic]+[pic]， o 乘積的轉(zhuǎn)置（Transpose ofａ production ） [pic]，[pic]。 o 可逆矩陣（inverse matrix），如果n級(jí)方陣(square matrix)A和B，滿(mǎn)足AB=BA=I。則稱(chēng)A、B是可逆矩陣，顯然[pic]，[pic]。如下 結(jié)果是成立的： [pic]。 2.2 特殊矩陣 1）恒等矩陣(identity matrix) 對(duì)角線(xiàn)上元素全為1，其余全為0，可記為I； 2）標(biāo)量矩陣(scalar matrix) 即形如αI的矩陣，其中α是標(biāo)量； 3）冪等矩陣(idempotent matrix) 如果矩陣[pic]具有性質(zhì)[pic]，這樣的矩陣稱(chēng)為冪等矩陣。 定理：冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。 4）正定矩陣（positive definite）和負(fù)定矩陣（negative definite），非負(fù)定矩陣(nonnegative　)　或　半正定矩陣（positive semi- definite ），非正定矩陣(nonpositive definite)　或　半負(fù)定矩陣（negative semi-definite）； 對(duì)于任意的非零向量[pic]，如有[pic]＞0（＜0），則稱(chēng)A是正（負(fù)）定矩陣；如有 [pic]≥0（≤0），非負(fù)（非正）定矩陣。如果A是非負(fù)定的，則記為A≥0；如果是正定的， 則記為A＞0。協(xié)方差矩陣[pic]是半正定矩陣，幾個(gè)結(jié)論： a）恒等矩陣或單位矩陣是正定的； b）如果[pic]是正定的，則[pic]也是正定的； c）如果[pic]是正定的，[pic]是可逆矩陣，則[pic]是正定的； d）如果[pic]是一個(gè)n×m矩陣，且n＞m，[pic]，則[pic]是正定的，[pic]是非負(fù)定矩 陣。 5）對(duì)稱(chēng)矩陣（symmetric matrix）； 如果[pic]=[pic]′，則[pic]稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣。 2.3 矩陣的跡（trace） 一個(gè)n×n矩陣的跡被定義為它的對(duì)角線(xiàn)上的元素之和，記為[pic]，則[pic]，如下結(jié) 論是顯然的。 1）[pic] （[pic]是標(biāo)量） 特例[pic] 2）[pic] 3）[pic] 4）[pic]，特例[pic] ５）循環(huán)排列原則　tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC) 定理：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的跡等于它的特征根之和。 因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故有在矩陣C，使得[pic]，其中[pic]，所以，[pic]。 2.4 矩陣的秩(rank) 一個(gè)矩陣A的行秩和列秩一定相等，一個(gè)矩陣的秩就可以定義為它的行秩或列秩，記 為r(A)，不加證明，我們給出如下結(jié)果： 1）[pic]≤[pic]（行數(shù)、列數(shù)） 2）[pic]≤[pic]≤[pic][pic]，其中A、B分別為m×n1、n1×n矩陣，特例：如果A、B為 n×n矩陣，而且AB=0，則[pic]≤[pic] 3）[pic]，其中[pic]是n×n的方陣 4）[pic]≤[pic] 5）設(shè)[pic]是n×n矩陣，且[pic]，則[pic] 6）設(shè)[pic]是n×n矩陣，且[pic]，則[pic] 2.5 統(tǒng)計(jì)量的矩陣表示 向量可理解為特殊的矩陣。[pic]是一個(gè)其元素都為1的n維列向量，即[pic]=（1，1 ，…，1），如果我們?cè)偌俣╗pic]，計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中的許多統(tǒng)計(jì)量就可以用矩陣的形式表 示出來(lái)，很方便進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)。 顯而易見(jiàn)，[pic]，[pic]，樣本的均值與方差的矩陣表示如下： 1）樣本均值矩陣表示； 事實(shí)上[pic]即[pic]，而[pic]，[pic]； 2）樣本方差矩陣表示 易知：[pic]。其中矩陣[pic]是一個(gè)每個(gè)元素都為[pic]的[pic]階方陣，從而[pic] 。 矩陣[pic]的對(duì)角線(xiàn)上的元素為[pic]，非對(duì)角線(xiàn)的元素為[pic]，是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣。 故樣本方差：[pic] [pic]。 定理：矩陣[pic]是冪等矩陣。 2.6 矩陣的二次型與多元正態(tài)分布 1）矩陣的二次型（Quadratic Forms）和線(xiàn)性變換（linear　transferring） 設(shè)P是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的[pic]的二次齊次多項(xiàng)式 [pic] [pic] …………………………… [pic] （1） 稱(chēng)為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，或者，在不致引起混淆時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)二次型。例如 [pic] 就是有理數(shù)域上的一個(gè)三元二次型，為了以后討論上的方便，在（1）中，[pic]＜[pic] 的系數(shù)寫(xiě)在[pic]。而不簡(jiǎn)單地寫(xiě)成[pic]。 和在幾何中一樣，在處理許多其它問(wèn)題時(shí)也常常希望通過(guò)變量的線(xiàn)性替換簡(jiǎn)化有關(guān)的 二次型，為此，我們引入 定義1 設(shè)[pic]；[pic]是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一級(jí)關(guān)系式 [pic] （2） 稱(chēng)為由[pic]，[pic]到[pic]的一個(gè)線(xiàn)性替換，或簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)性替換，如果系數(shù)行列式 [pic] 那么線(xiàn)性替換（2）就稱(chēng)為非退化的。 在討論二次型時(shí)，矩陣是一個(gè)有力的工具，因此我們先把二次型與線(xiàn)性替換用矩陣來(lái) 表示。 令 [pic]， [pic]＜[pic] 由于 [pic] 所以二次型（1）可以寫(xiě)成 [pic] [pic] …………………………………… [pic] [pic] （3） 把（3）的系數(shù)排成一個(gè)n×n矩陣 [pic] （4） 它就稱(chēng)為二次型（3）的矩陣，因?yàn)閇pic]，[pic]，[pic]所以 [pic] 我們把這樣的矩陣稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣，因此，二次型的矩陣都是對(duì)稱(chēng)的。 令 [pic] 于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來(lái)， [pic] [pic] [pic] [pic] 故 [pic] 應(yīng)該看到，二次型（1）的矩陣[pic]的元素[pic]正是它的[pic]項(xiàng)的系數(shù)的一半，因 此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的，由此還能得到，若二次型 [pic] 且[pic]，[pic]，則[pic]。 令 [pic] 于是線(xiàn)性替換（2）可以寫(xiě)成 [pic] 或者 [pic] 我們知道，經(jīng)過(guò)一個(gè)非退化的線(xiàn)性替換，二次型還是變成二次型，現(xiàn)在就來(lái)看一下， 替換后的二次型與原來(lái)的二次型之間有什么關(guān)系，也就是說(shuō)，找出替換后的二次的矩陣 與原二次型的矩陣之間的關(guān)系。 設(shè) [pic] （5） 是一個(gè)二次型，作非退化線(xiàn)性替換 [pic] （6） 我們得到一個(gè)[pic]的二次型 [pic] 現(xiàn)在來(lái)看矩陣B與A的關(guān)系。 把（6）代入（5），有 [pic] [pic] 容易看出，矩陣[pic]也是對(duì)稱(chēng)的，事實(shí)上， [pic] 由此，即得 [pic] 這就是前后兩個(gè)二次型的矩陣的關(guān)系，與之相應(yīng)，我們引入 定義2 數(shù)域P上n×n矩陣A，B稱(chēng)為合同的，如果有數(shù)域P上可逆的n×n矩陣C，使 [pic] 合同是矩陣之間的一個(gè)關(guān)系，不難看出，合同關(guān)系具有 1）反身性：[pic]； 2）對(duì)稱(chēng)性：由[pic]即得[pic]； 3）傳遞性：由[pic]即得 [pic] 因之，經(jīng)過(guò)非退化的線(xiàn)性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。這樣， 我們就把二次型的變換通過(guò)矩陣表示出來(lái)，為以下的探討提供了有力的工具。 最后指出，在變換二次型時(shí)，我們總是要求所作的線(xiàn)性替換是非退化的。從幾何上看 ，這一點(diǎn)是自然的，因?yàn)樽鴺?biāo)變換一定是非退化的，一般地，當(dāng)線(xiàn)性替換 [pic] 是非退化時(shí)，由上面的關(guān)系即得 [pic] 這也是一個(gè)線(xiàn)性替換，它把所得的二次型還原。這樣就使我們從所得二次型的性質(zhì)可 以推知原來(lái)二次型的一些性質(zhì)。 定理：若A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在可逆矩陣C，滿(mǎn)足：[pic]。 2）多元正態(tài)分布 a）二元正態(tài)分布 直觀(guān)上，二元正態(tài)分布是兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。如果兩個(gè)隨機(jī)變量X1和X2的 聯(lián)合密度函數(shù)為 [pic] 這里[pic]＜[pic]，[pic]＜[pic]，[pic]＞0，[pic]＞0，[pic]＜[pic]＜1， [pic]， 我們稱(chēng)X1和X2服從二元正態(tài)分布。通過(guò)計(jì)算可得X1和X2的邊際分布分別為[pic]和[pic] 。上式中的參數(shù)[pic]是X1和X2的相關(guān)系數(shù)。 如果X1和X2服從二元正態(tài)分布，那么在給定[pic]的條件下X2的條件分布也是正態(tài)的 。它的條件密度函數(shù)為 [pic] 這里 [pic] 條件均值[pic]是[pic]的線(xiàn)性函數(shù)。并且，二元正態(tài)分布具有一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)，那就是 如果[pic]，那么X1和X2是相互獨(dú)立的。這是由于當(dāng)[pic]時(shí)，我們有[pic]。這對(duì)于一般 的兩個(gè)隨機(jī)變量是不對(duì)的。 有時(shí)如果把聯(lián)合概率密度函數(shù)寫(xiě)成矩陣的形式，則從形式上來(lái)看就簡(jiǎn)單多了。記[pic] ，那么二元正態(tài)概率密度函數(shù)可以寫(xiě)成如下的簡(jiǎn)單形式 [pic] 這里 [pic] b）多元正態(tài)分布 [pic]，[pic]這就是均值為[pic]協(xié)方差矩陣為[pic]的多元正態(tài)分布，記為[pic]。 c）多元正態(tài)分布的二次型的分布 如果[pic]，那么 [pic] 這里n是X的維數(shù)。我們可以簡(jiǎn)單地證明這個(gè)結(jié)果。由于[pic]是對(duì)稱(chēng)可逆矩陣，那么 存在一個(gè)可逆的矩陣A，使得[pic]。我們有[pic]，所以[pic]。 2.7 冪等矩陣與二次型 1、冪等矩陣滿(mǎn)足A2=A的矩陣稱(chēng)為冪等矩陣。 冪等矩陣可以是對(duì)稱(chēng)的，也可以是非對(duì)稱(chēng)的，但在我們計(jì)量統(tǒng)計(jì)學(xué)中，所研究的冪等 矩陣都是對(duì)稱(chēng)的。與冪等矩陣的有關(guān)的結(jié)果有： 1）冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。 證明：設(shè)[pic]是A的特征根，則AE=[pic]，同時(shí)[pic]=A=A2=[pic]，故[pic]，從而 [pic]或[pic]。 2）唯一滿(mǎn)秩的對(duì)稱(chēng)冪等矩陣是單位矩陣。 證明：∵A2=A[pic][pic][pic][pic][pic][pic] 即除了單位矩陣外，所有冪等矩陣是奇異的。 3）A是冪等矩陣，則I－A也是冪等矩陣，且秩（A）+秩（I－A）=n。 4）對(duì)稱(chēng)冪等矩陣的秩等于它的跡。 從而我們很容易知道M0的秩。 因M0的每個(gè)對(duì)角元素都是[pic]，因此[pic]。 5）[pic]的服從[pic]分布（如果[pic] 這是因?yàn)椋篬pic]和[pic]。 6）[pic] X是一個(gè)n×m的矩陣，秩（X）=m 則M是冪等矩陣。 2.8 微分及其矩陣的微分表示 1）微分的應(yīng)用 微分的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中被廣泛地用來(lái)作近似計(jì)算。為了說(shuō)明這種技巧如何運(yùn)作， 考慮一個(gè)例子。設(shè)P代表GDP平減指數(shù)，Y代表實(shí)際GDP，則名義GDP為P×Y，于是有： （P×Y）變動(dòng)的百分比的≈（P變動(dòng)的百分比）+（Y變動(dòng)的百分比）； 同樣一個(gè)比率變動(dòng)的百分比近似地是分子變動(dòng)的百分比減去分母變動(dòng)的百分比。例如 ：設(shè)Y代表GDP，而L代表人口數(shù)，則人均GDP為[pic]，則： （Y/L）變動(dòng)的百分比≈（Y變動(dòng)的百分比）－（L變動(dòng)的百分比） 問(wèn)題1：1）上述2個(gè)近似公式在什么條件下成立？ 2）推導(dǎo)上述兩個(gè)公式 3）宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)中，GDP的確定由4個(gè)組成部分，即：GDP=C+I+G+NX。能否按如下公 式計(jì)算GDP變動(dòng)百分比： GDP變動(dòng)的百分比≈（消費(fèi)C變動(dòng)的百分比）+（投資I變?yōu)榈陌俜直龋?（政府購(gòu)買(mǎi)G變 動(dòng)的百分比）+（凈出口NX變動(dòng)百分比）。 如果不能，哪邊的值較大？為什么？ 問(wèn)題2: In the country of Wiknam, the velocity of money is constant. Real GDP grows by 5 percent per year, the money stock grows by 14 percent per year, and the nominal interest rate is 11 percent . What is the real interest rate? 2）計(jì)量模型的推導(dǎo) 帶技術(shù)進(jìn)步[pic]的Solow模型 假定生產(chǎn)函數(shù)為?？怂梗℉icks）中性技術(shù)進(jìn)步條件下的產(chǎn)出增長(zhǎng)型函數(shù)，其一般形 式Solow模型為： [pic] （1） 對(duì)A（t）作進(jìn)一步假定，令[pic]，這里A0為基本的技術(shù)水平，[pic]表示由于技術(shù)進(jìn) 步而使產(chǎn)出增長(zhǎng)的部分，稱(chēng)為技術(shù)進(jìn)步增長(zhǎng)率。于是（1）式變?yōu)椋?[pic] （2） 對(duì)（2）式兩邊取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)得到： [pic] （3） 由于Y、L、K的實(shí)際數(shù)據(jù)都是離散的，故對(duì)（3）進(jìn)行離散化，并令[pic]年，于是有： [pic] （4） [pic]表示產(chǎn)出的勞動(dòng)力彈性，[pic]表示產(chǎn)出的資本彈性。于是（4）式實(shí)際上就是我們 的科技進(jìn)步貢獻(xiàn)率的測(cè)算模型，注意到： [pic] 這里[pic]表示科技進(jìn)步對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率，[pic]表示勞動(dòng)力增長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn) 率，[pic]表示資本增長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率。從而有： [pic] （5） （5）式就給出了技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率的測(cè)算公式。 通過(guò)假定一定規(guī)模報(bào)酬不變，即[pic]這一條件，比較合理有效地預(yù)防或克服了變量 間可能出現(xiàn)的共線(xiàn)性。由（4）式，根據(jù)[pic]，有： [pic] 設(shè)[pic]，則有： [pic] （6） 一般來(lái)講，只要D1序列不存在異方差性，（6）式就是測(cè)算科技進(jìn)步增長(zhǎng)率[pic]所用 的最終模型。 3、矩陣的微分 如果[pic]或?qū)?..
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