上課材料之二
上課材料之二： 第二章 數(shù)學基礎 (Mathematics) 第一節(jié) 矩陣(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二節(jié) 分布函數(shù)(Distribution Function)，數(shù)學期望(Expectation)及方差(Variance) 3. 數(shù)理統(tǒng)計（Mathematical Statistics） 第一節(jié) 矩陣及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩陣的基本概念與運算 一個m×n矩陣可表示為： [pic] 矩陣的加法較為簡單，若C=A+B，cij=aij+bij 但矩陣的乘法的定義比較特殊，若A是一個m×n1的矩陣，B是一個n1×n的矩陣，則C=A B是一個m×n的矩陣，而且[pic]，一般來講，AB≠BA，但如下運算是成立的： o 結合律（Associative Law） (AB)C=A（BC） o 分配律（Distributive Law） A(B+C)=AB+AC 問題：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？ 向量（Vector）是一個有序的數(shù)組，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一個標量，則αA=[αaij]。 矩陣[pic]的轉(zhuǎn)置矩陣(transpose matrix)記為[pic]，是通過把[pic]的行向量變成相應的列向量而得到。 顯然([pic])′=[pic]，而且（[pic]+[pic]）′=[pic]+[pic]， o 乘積的轉(zhuǎn)置（Transpose ofａ production ） [pic]，[pic]。 o 可逆矩陣（inverse matrix），如果n級方陣(square matrix)A和B，滿足AB=BA=I。則稱A、B是可逆矩陣，顯然[pic]，[pic]。如下 結果是成立的： [pic]。 2.2 特殊矩陣 1）恒等矩陣(identity matrix) 對角線上元素全為1，其余全為0，可記為I； 2）標量矩陣(scalar matrix) 即形如αI的矩陣，其中α是標量； 3）冪等矩陣(idempotent matrix) 如果矩陣[pic]具有性質(zhì)[pic]，這樣的矩陣稱為冪等矩陣。 定理：冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。 4）正定矩陣（positive definite）和負定矩陣（negative definite），非負定矩陣(nonnegative　)　或　半正定矩陣（positive semi- definite ），非正定矩陣(nonpositive definite)　或　半負定矩陣（negative semi-definite）； 對于任意的非零向量[pic]，如有[pic]＞0（＜0），則稱A是正（負）定矩陣；如有 [pic]≥0（≤0），非負（非正）定矩陣。如果A是非負定的，則記為A≥0；如果是正定的， 則記為A＞0。協(xié)方差矩陣[pic]是半正定矩陣，幾個結論： a）恒等矩陣或單位矩陣是正定的； b）如果[pic]是正定的，則[pic]也是正定的； c）如果[pic]是正定的，[pic]是可逆矩陣，則[pic]是正定的； d）如果[pic]是一個n×m矩陣，且n＞m，[pic]，則[pic]是正定的，[pic]是非負定矩 陣。 5）對稱矩陣（symmetric matrix）； 如果[pic]=[pic]′，則[pic]稱為對稱矩陣。 2.3 矩陣的跡（trace） 一個n×n矩陣的跡被定義為它的對角線上的元素之和，記為[pic]，則[pic]，如下結 論是顯然的。 1）[pic] （[pic]是標量） 特例[pic] 2）[pic] 3）[pic] 4）[pic]，特例[pic] ５）循環(huán)排列原則　tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC) 定理：實對稱矩陣A的跡等于它的特征根之和。 因為A是實對稱矩陣，故有在矩陣C，使得[pic]，其中[pic]，所以，[pic]。 2.4 矩陣的秩(rank) 一個矩陣A的行秩和列秩一定相等，一個矩陣的秩就可以定義為它的行秩或列秩，記 為r(A)，不加證明，我們給出如下結果： 1）[pic]≤[pic]（行數(shù)、列數(shù)） 2）[pic]≤[pic]≤[pic][pic]，其中A、B分別為m×n1、n1×n矩陣，特例：如果A、B為 n×n矩陣，而且AB=0，則[pic]≤[pic] 3）[pic]，其中[pic]是n×n的方陣 4）[pic]≤[pic] 5）設[pic]是n×n矩陣，且[pic]，則[pic] 6）設[pic]是n×n矩陣，且[pic]，則[pic] 2.5 統(tǒng)計量的矩陣表示 向量可理解為特殊的矩陣。[pic]是一個其元素都為1的n維列向量，即[pic]=（1，1 ，…，1），如果我們再假定[pic]，計量經(jīng)濟模型中的許多統(tǒng)計量就可以用矩陣的形式表 示出來，很方便進行數(shù)學推導。 顯而易見，[pic]，[pic]，樣本的均值與方差的矩陣表示如下： 1）樣本均值矩陣表示； 事實上[pic]即[pic]，而[pic]，[pic]； 2）樣本方差矩陣表示 易知：[pic]。其中矩陣[pic]是一個每個元素都為[pic]的[pic]階方陣，從而[pic] 。 矩陣[pic]的對角線上的元素為[pic]，非對角線的元素為[pic]，是一個對稱矩陣。 故樣本方差：[pic] [pic]。 定理：矩陣[pic]是冪等矩陣。 2.6 矩陣的二次型與多元正態(tài)分布 1）矩陣的二次型（Quadratic Forms）和線性變換（linear　transferring） 設P是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P中的[pic]的二次齊次多項式 [pic] [pic] …………………………… [pic] （1） 稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，或者，在不致引起混淆時簡稱二次型。例如 [pic] 就是有理數(shù)域上的一個三元二次型，為了以后討論上的方便，在（1）中，[pic]＜[pic] 的系數(shù)寫在[pic]。而不簡單地寫成[pic]。 和在幾何中一樣，在處理許多其它問題時也常常希望通過變量的線性替換簡化有關的 二次型，為此，我們引入 定義1 設[pic]；[pic]是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一級關系式 [pic] （2） 稱為由[pic]，[pic]到[pic]的一個線性替換，或簡稱線性替換，如果系數(shù)行列式 [pic] 那么線性替換（2）就稱為非退化的。 在討論二次型時，矩陣是一個有力的工具，因此我們先把二次型與線性替換用矩陣來 表示。 令 [pic]， [pic]＜[pic] 由于 [pic] 所以二次型（1）可以寫成 [pic] [pic] …………………………………… [pic] [pic] （3） 把（3）的系數(shù)排成一個n×n矩陣 [pic] （4） 它就稱為二次型（3）的矩陣，因為[pic]，[pic]，[pic]所以 [pic] 我們把這樣的矩陣稱為對稱矩陣，因此，二次型的矩陣都是對稱的。 令 [pic] 于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來， [pic] [pic] [pic] [pic] 故 [pic] 應該看到，二次型（1）的矩陣[pic]的元素[pic]正是它的[pic]項的系數(shù)的一半，因 此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的，由此還能得到，若二次型 [pic] 且[pic]，[pic]，則[pic]。 令 [pic] 于是線性替換（2）可以寫成 [pic] 或者 [pic] 我們知道，經(jīng)過一個非退化的線性替換，二次型還是變成二次型，現(xiàn)在就來看一下， 替換后的二次型與原來的二次型之間有什么關系，也就是說，找出替換后的二次的矩陣 與原二次型的矩陣之間的關系。 設 [pic] （5） 是一個二次型，作非退化線性替換 [pic] （6） 我們得到一個[pic]的二次型 [pic] 現(xiàn)在來看矩陣B與A的關系。 把（6）代入（5），有 [pic] [pic] 容易看出，矩陣[pic]也是對稱的，事實上， [pic] 由此，即得 [pic] 這就是前后兩個二次型的矩陣的關系，與之相應，我們引入 定義2 數(shù)域P上n×n矩陣A，B稱為合同的，如果有數(shù)域P上可逆的n×n矩陣C，使 [pic] 合同是矩陣之間的一個關系，不難看出，合同關系具有 1）反身性：[pic]； 2）對稱性：由[pic]即得[pic]； 3）傳遞性：由[pic]即得 [pic] 因之，經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。這樣， 我們就把二次型的變換通過矩陣表示出來，為以下的探討提供了有力的工具。 最后指出，在變換二次型時，我們總是要求所作的線性替換是非退化的。從幾何上看 ，這一點是自然的，因為坐標變換一定是非退化的，一般地，當線性替換 [pic] 是非退化時，由上面的關系即得 [pic] 這也是一個線性替換，它把所得的二次型還原。這樣就使我們從所得二次型的性質(zhì)可 以推知原來二次型的一些性質(zhì)。 定理：若A是實對稱矩陣，則存在可逆矩陣C，滿足：[pic]。 2）多元正態(tài)分布 a）二元正態(tài)分布 直觀上，二元正態(tài)分布是兩個正態(tài)隨機變量的聯(lián)合分布。如果兩個隨機變量X1和X2的 聯(lián)合密度函數(shù)為 [pic] 這里[pic]＜[pic]，[pic]＜[pic]，[pic]＞0，[pic]＞0，[pic]＜[pic]＜1， [pic]， 我們稱X1和X2服從二元正態(tài)分布。通過計算可得X1和X2的邊際分布分別為[pic]和[pic] 。上式中的參數(shù)[pic]是X1和X2的相關系數(shù)。 如果X1和X2服從二元正態(tài)分布，那么在給定[pic]的條件下X2的條件分布也是正態(tài)的 。它的條件密度函數(shù)為 [pic] 這里 [pic] 條件均值[pic]是[pic]的線性函數(shù)。并且，二元正態(tài)分布具有一個獨特的性質(zhì)，那就是 如果[pic]，那么X1和X2是相互獨立的。這是由于當[pic]時，我們有[pic]。這對于一般 的兩個隨機變量是不對的。 有時如果把聯(lián)合概率密度函數(shù)寫成矩陣的形式，則從形式上來看就簡單多了。記[pic] ，那么二元正態(tài)概率密度函數(shù)可以寫成如下的簡單形式 [pic] 這里 [pic] b）多元正態(tài)分布 [pic]，[pic]這就是均值為[pic]協(xié)方差矩陣為[pic]的多元正態(tài)分布，記為[pic]。 c）多元正態(tài)分布的二次型的分布 如果[pic]，那么 [pic] 這里n是X的維數(shù)。我們可以簡單地證明這個結果。由于[pic]是對稱可逆矩陣，那么 存在一個可逆的矩陣A，使得[pic]。我們有[pic]，所以[pic]。 2.7 冪等矩陣與二次型 1、冪等矩陣滿足A2=A的矩陣稱為冪等矩陣。 冪等矩陣可以是對稱的，也可以是非對稱的，但在我們計量統(tǒng)計學中，所研究的冪等 矩陣都是對稱的。與冪等矩陣的有關的結果有： 1）冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。 證明：設[pic]是A的特征根，則AE=[pic]，同時[pic]=A=A2=[pic]，故[pic]，從而 [pic]或[pic]。 2）唯一滿秩的對稱冪等矩陣是單位矩陣。 證明：∵A2=A[pic][pic][pic][pic][pic][pic] 即除了單位矩陣外，所有冪等矩陣是奇異的。 3）A是冪等矩陣，則I－A也是冪等矩陣，且秩（A）+秩（I－A）=n。 4）對稱冪等矩陣的秩等于它的跡。 從而我們很容易知道M0的秩。 因M0的每個對角元素都是[pic]，因此[pic]。 5）[pic]的服從[pic]分布（如果[pic] 這是因為：[pic]和[pic]。 6）[pic] X是一個n×m的矩陣，秩（X）=m 則M是冪等矩陣。 2.8 微分及其矩陣的微分表示 1）微分的應用 微分的應用在經(jīng)濟學領域中被廣泛地用來作近似計算。為了說明這種技巧如何運作， 考慮一個例子。設P代表GDP平減指數(shù)，Y代表實際GDP，則名義GDP為P×Y，于是有： （P×Y）變動的百分比的≈（P變動的百分比）+（Y變動的百分比）； 同樣一個比率變動的百分比近似地是分子變動的百分比減去分母變動的百分比。例如 ：設Y代表GDP，而L代表人口數(shù)，則人均GDP為[pic]，則： （Y/L）變動的百分比≈（Y變動的百分比）－（L變動的百分比） 問題1：1）上述2個近似公式在什么條件下成立？ 2）推導上述兩個公式 3）宏觀經(jīng)濟中，GDP的確定由4個組成部分，即：GDP=C+I+G+NX。能否按如下公 式計算GDP變動百分比： GDP變動的百分比≈（消費C變動的百分比）+（投資I變?yōu)榈陌俜直龋?（政府購買G變 動的百分比）+（凈出口NX變動百分比）。 如果不能，哪邊的值較大？為什么？ 問題2: In the country of Wiknam, the velocity of money is constant. Real GDP grows by 5 percent per year, the money stock grows by 14 percent per year, and the nominal interest rate is 11 percent . What is the real interest rate? 2）計量模型的推導 帶技術進步[pic]的Solow模型 假定生產(chǎn)函數(shù)為?？怂梗℉icks）中性技術進步條件下的產(chǎn)出增長型函數(shù)，其一般形 式Solow模型為： [pic] （1） 對A（t）作進一步假定，令[pic]，這里A0為基本的技術水平，[pic]表示由于技術進 步而使產(chǎn)出增長的部分，稱為技術進步增長率。于是（1）式變?yōu)椋?[pic] （2） 對（2）式兩邊取對數(shù)并求導得到： [pic] （3） 由于Y、L、K的實際數(shù)據(jù)都是離散的，故對（3）進行離散化，并令[pic]年，于是有： [pic] （4） [pic]表示產(chǎn)出的勞動力彈性，[pic]表示產(chǎn)出的資本彈性。于是（4）式實際上就是我們 的科技進步貢獻率的測算模型，注意到： [pic] 這里[pic]表示科技進步對產(chǎn)出增長的貢獻率，[pic]表示勞動力增長對產(chǎn)出增長的貢獻 率，[pic]表示資本增長對產(chǎn)出增長的貢獻率。從而有： [pic] （5） （5）式就給出了技術進步貢獻率的測算公式。 通過假定一定規(guī)模報酬不變，即[pic]這一條件，比較合理有效地預防或克服了變量 間可能出現(xiàn)的共線性。由（4）式，根據(jù)[pic]，有： [pic] 設[pic]，則有： [pic] （6） 一般來講，只要D1序列不存在異方差性，（6）式就是測算科技進步增長率[pic]所用 的最終模型。 3、矩陣的微分 如果[pic]或?qū)?..
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