條件概率1-3
§3．條件概率、乘法公式、獨(dú)立性 前面講到隨機(jī)事件時，說到隨機(jī)事件是在一定條件S下，進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)而可能發(fā) 生或可能不發(fā)生的事件．當(dāng)我們計(jì)算事件A的概率P(A)時，如果除了條件S外，不再 加上其它條件的限制，我們稱此種概率為無條件的概率。 但是在許多實(shí)際問題中，還存在著要求一個事件B在某一事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下的 概率．我們稱它條件的概率。 一．【例1】 設(shè)箱中有100件同型產(chǎn)品。其中70件(50件正品，20件次品)來自甲廠， 30件(25件正品， 5件次品)來自乙廠?，F(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品。 (1)求取得甲廠產(chǎn)品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲廠產(chǎn)品，求取得的是次品的概率。 分析：為了直觀，我們將產(chǎn)品情況列成表 [pic] 上面的問題，可用古典概率計(jì)算法求得。 解： 則 （1） （2） ， ，， （3） 在“已知取得的是甲廠產(chǎn)品”這一條件下任取一件產(chǎn)品，實(shí)際上是從甲廠70件產(chǎn)品(5 0件正品，20件次品)中任取一件。這時樣本空間只含70個基本事件(是原的樣本空間 的一部分)。由古典概率知： 為了給出條件概率的數(shù)學(xué)定義，我們對{例1}的條件概率問題進(jìn)行分析： [pic] 即有 二。條件概率： 設(shè)A,B是條件S下的兩個隨機(jī)事件，P(A)＞0，則稱在事件4發(fā)生的條件 下事件B發(fā)生的概率為條件概率, 且 【例 1】從帶有自標(biāo)號1， 2， 3，4，5，6的六個球中，任取兩個，如果用A表示事件“取出的兩球的自標(biāo)號的和， 為6”，用B表示事件“取出的兩球的自標(biāo)號都處偶數(shù)”，試求： [pic] [pic] 【例】[pic] [pic] [pic] 解； （ⅰ）∵ [pic] ，[pic] [pic] 三．概率的乘法公式： [pic] [pic] 乘法公式： 兩個事件A、B之交的概率等于中任一個事件(其概率不為零)的概率乘以另一個事件 在已知前一個事件發(fā)生下的條件概率。即 [pic] 【例2】 盒中有10件同型產(chǎn)品。其中8件正品， 2件次品，現(xiàn)從盒中無放回地連取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率 。 [pic] 因?yàn)?在第一次已取得正品下，第二次再取產(chǎn)品時，盒中只剩9件產(chǎn)品，其中正品只有7件。 [pic] [pic] 【例3】10個考簽中有4個難簽， 3人參加抽簽(不放回)，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽到難 簽， 甲沒抽到難簽而乙抽到難簽以及甲、乙、丙都抽到難簽的概率。 解 ： 設(shè)事件A，B、C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，則 [pic] 【例4】 [pic] 【例5】袋中有三個鬮，其中僅有一鬮為有物之鬮，三人排隊(duì)抓鬮，每人取一個，記 [pic] 從此例看出，抓鬮時雖排隊(duì)，但三人是等概的，否則這個辦法就不會被人類采納達(dá) 數(shù)千年之久。 三．事件的獨(dú)立性： 如果 則 表示事件A發(fā)生并不影響事件B發(fā)生的概率。 [pic] 即 [pic] 1．定義：設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，如果 [pic] 2．性質(zhì)： 若　四對事件　[pic]與[pic]；[pic]與[pic]；[pic] 與[pic]；[pic]與[pic]中有一對相互獨(dú)立， 則其余三對也相互獨(dú)立．即下面四個命題是等價(jià)的： 　　　　　　 ３．定義２：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　[pic] 　　　　　[pic] 應(yīng)用獨(dú)立性概念，可以簡化概率的計(jì)算． 【例6】在不超過100個自然數(shù)里任取一數(shù)，則它能被2或能被5整除的概率為多少？ [pic] [pic] 【例】 袋中放有a個白球和b個黑球，隨機(jī)取出一個，然后放回，并同時再放進(jìn)與取出的 球同色的球c個，再取第二個，這樣連續(xù)取3次，問取出的3個球中頭兩個是黑球，第3個 是 白球酌概率是多少? 解 ： [pic] 【例】 8. 已知每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為0．4％，且他們是否含有肝炎病 毒是相互獨(dú)立的．今混合100個人的血清，試求混合后的血清中含有肝炎病 毒的概率． [pic] [pic] 現(xiàn)在我們知道對１００人的血清作檢驗(yàn)．用新方法要檢驗(yàn)l01次的可能性為0．33，而只 需檢驗(yàn)一次的可能性為１—o．33?。給．67．由此，可以知道，只做一次檢驗(yàn)的可能性遠(yuǎn) 大于t01次檢驗(yàn)的可能性．以后我們將知道：用新方法對100個人平均需做34次檢驗(yàn)，當(dāng) 然這比老方法要做too次檢驗(yàn)確實(shí)減少了工作量． 【例】 [pic] 【例】甲、乙兩人同時向一敵機(jī)炮擊，已知甲擊中的概率為o．6，乙擊中的概率為o．5 ，求敵機(jī)被擊中的概率。 [pic] [pic] 【例１１】 （１）兩門火炮同時向一敵機(jī)射擊，每門火炮的命中率為０．6，求敵機(jī) 被擊中的概率． 2. 現(xiàn)若干門炮同時向向一敵機(jī)炮擊，問欲以９９％的把握擊中這敵機(jī)，至少需要幾 門炮？ [pic] （２）解：設(shè)至少n門炮同時向向一敵機(jī)炮擊， 　　　　　[pic]“第[pic]門炮擊中這敵機(jī)”　[pic]， 　　　　　[pic] “敵機(jī)被擊中”， 則 [pic]， 　　　 （∵　　[pic] 不是兩兩互不相容，Ｐ（Ａ）計(jì)算量太大，可以考慮[pic]的逆事件 ） ∵　[pic]，　　且[pic]　是相互獨(dú)立的， ∴　[pic]， 　　[pic] 因而　　[pic]， 可見，　至少需要６門炮才能以９９％的把握擊中這敵機(jī)。 【例】 若n次獨(dú)立試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為 ,, 求一次試驗(yàn)中Ａ出現(xiàn)的概率。 [pic] 4. 習(xí)題： 　　　　　　Ｐ。２９―――１，２，３，４
條件概率1-3