華宏2003年mba聯(lián)考輔導(dǎo)資料(a)
華宏2003年MBA聯(lián)考輔導(dǎo)資料(一):《MBA線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱》(尤承業(yè)) 上篇 目錄 第一章 線性代數(shù)中最基本的概念 1. 矩陣 (1) 基本概念 (2) 線性運算和轉(zhuǎn)置 (3) n階矩陣和幾個特殊矩陣 (4) 初等變換和階梯形矩陣 2. 向量 (1)基本概念 (2) 線性運算和線性組合 3．線性方程組 (1) 基本概念 (2) 同解變換與矩陣消元法 第二章 行列式 1.1 形式與意義 1.2 定義(完全展開式) 1.3 性質(zhì) 1.4 計算 1.5克萊姆法則 第三章 矩陣乘法和可逆矩陣 2.1 矩陣乘法的定義和性質(zhì) 2.2 n階矩陣的方冪和多項式 2.3乘積矩陣的列向量組和行向量組 2.4 矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣) 2.5 矩陣乘法的分塊法則 2.6 初等矩陣 第四章 向量組的線性關(guān)系和秩 3.1 向量組的線性表示關(guān)系 3.2 向量組的線性相關(guān)性 3.3 向量組的極大無關(guān)組和秩 3.4 矩陣的秩 第五章 線性方程組 4.1 線性方程組的形式 4.2 線性方程組解的性質(zhì) 4.3 線性方程組解的情況的判別 4.4 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系 線性方程組的通解分析 第六章 n階矩陣的特征向量和特征值 5.1 特征向量和特征值 第一章 線性代數(shù)中最基本的概念 基礎(chǔ)比較好的考生可不必看這部分內(nèi)容,或者只用本部分的習(xí)題對自己進行一次測試 . 1.矩陣 (1)基本概念 矩陣是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展. 由m(n個數(shù)排列成的一個m行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一個m(n型矩 陣.這些數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素. 元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0. 兩個矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等(即它們的類型相同),并且 對應(yīng)的元素都相等. (2)線性運算和轉(zhuǎn)置 加(減)法:兩個m(n的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是m(n矩陣,記作 A+B (A-B),法則為對應(yīng)元素相加(減). 數(shù)乘: 一個m(n的矩陣A與應(yīng)該數(shù)c可以相乘,乘積仍為m(n的矩陣,記作cA,法則為A的每個元素乘 c. 這兩種運算統(tǒng)稱為先性運算,它們滿足以下規(guī)律: ① 加法交換律: A+B=B+A. ② 加法結(jié)合律: (A+B)+C=A+(B+C). ③ 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. ④ 數(shù)乘結(jié)合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ cA=0( c=0 或A=0. 轉(zhuǎn)置:把一個m(n的矩陣A行和列互換,得到的n(m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作A T(或A(). 有以下規(guī)律: ① (AT)T= A. ② (A+B)T=AT+BT. ③ (cA)T=(cA)T. (3) n階矩陣 幾個特殊矩陣 行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣. n階矩陣A的相應(yīng)的行列式記作|A|,稱為A的行列式. 把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它的主對角線.(其上的運算行列號相等.) 下面列出幾類常用的n階矩陣,它們但是考試大綱中要求掌握的. 對角矩陣: 主對角線外的的元素都為0的n階矩陣. 單位矩陣: 主對角線外的的元素都為1的對角矩陣,記作E(或I). 數(shù)量矩陣: 主對角線外的的元素都等于一個常數(shù)c的對角矩陣,它就是cE. 上(下)三角矩陣: 主對角線下(上)的的元素都為0的n階矩陣. 對稱矩陣:滿足AT=A矩陣.也就是對任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素總是相等的n階矩陣. 反對稱矩陣:滿足AT=-A矩陣.也就是對任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣. 反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0. (4) 矩陣的初等變換和階梯形矩陣 矩陣的初等行變換有以下三種: ① 交換兩行的上下位置. ② 用一個非0的常數(shù)乘某一行的各元素. ③ 把某一行的倍數(shù)加到另一行上. 類似地, 矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這里省略了. 初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換. 階梯形矩陣:一個矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足: ① 如果它有零行,則都出現(xiàn)在下面. ② 每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增. 每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣.這種運算是在線性代數(shù)的各類計算題 中頻繁運用的基本運算,必須十分熟練. 2. 向量 (1)基本概念 向量是另一種描述事物形態(tài)的數(shù)量形式. 由n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個n維向量,稱這些數(shù)為它的分量. 書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2,( ,an的向量可表示成 a1 (a1,a2,( ,an)或 a2 , ┆ an 請注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1(n矩陣,右邊n(1是 矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.請注意它與矩陣的行向量和列向量的區(qū)別 . 一個m(n的矩陣的每一行是一個n維向量,稱為它的行向量; 每一列是一個m維向量, 稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當(dāng)矩陣A的列向量組為α1, α2, ( ,αn時(它們都是表示為列的形式!)可記A=(α1, α2,( ,αn). 矩陣的許多概念也可對向量來規(guī)定,如向量的相等,零向量等等.這里從略. (2) 線性運算和線性組合 向量也有加減法和數(shù)乘這兩種線性運算,并且也有完全一樣的運算規(guī)律,這里也不來復(fù) 述了. 向量組的線性組合:設(shè)α1, α2,( ,αs是一組n維向量, c1,c2,( ,cs是一組數(shù),則稱 c1α1+ c2α2+( ,+csαs為 α1, α2,( ,αs的(以c1,c2,( ,cs為系數(shù)的)線性組合.它也是n維向量. 3．線性方程組 (1) 基本概念 線性方程組的一般形式為: a11x1+a12x2+( +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+( +a2nxn=b2, ( ( ( ( am1x1+am2x2+( +amnxn=bm, 其中未知數(shù)的個數(shù)n和方程式的個數(shù)m不必相等.分別稱矩陣 a11 a12 ( a1n a11 a12 ( a1n b1 A= a21 a22 ( a2n 和(A|β)= a21 a22 ( a2n b2 ( ( ( ( ( ( ( am1 am2 ( amn am1 am2 ( amn bm 為方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣. 如果b1=b2=(=bm=0,則稱為齊次線性方程組.把一個非齊次線性方程組的每個方程的常 數(shù)項都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出 組. 線性方程組的解是一個n維向量(k1,k2,( ,kn),它滿足:當(dāng)每個方程中的未知數(shù)xi都用ki替代時都成為等式. 線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解. n維零向量總是齊次線性方程組的解,因此齊次線性方程組的解情況只有兩種:唯一解 (即只要零解)和無窮多解(即有非零解). (2) 同解變換與矩陣消元法 線性方程組的同解變換有三種: ① 交換兩個方程的上下位置. ② 用一個非0的常數(shù)乘某個方程. ③ 把某方程的倍數(shù)加到另一方程上. 以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換. 線性方程組的基本求解方法是消元法,用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進行,稱為矩陣消元法 :寫出方程組的增廣矩陣(對齊次方程組用系數(shù)矩陣),用初等行變換把它化為階梯形矩陣 ,再寫出所代表的階梯形方程組 (它是原方程組的同解方程組),用它求解. 第二章 行列式 1. 形式和意義 形式:用n2個數(shù)排列成的一個n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個n階行列式. 如果行列式的列向量組為α1, α2,( ,αn,則此行列式可表示為|α1, α2,( ,αn|. 意義:是一個算式,把n2個元素按照一定的法則進行運算,得到的數(shù)值稱為這個行列式 的值. 請注意行列式和矩陣在形式和意義上的區(qū)別. 當(dāng)兩個行列式的值相等時,就可以在它們之間寫等號! (不必形式一樣,甚至階數(shù)可不同.) 每個n階矩陣A對應(yīng)一個n階行列式,記作|A|. 2. 定義(完全展開式) 2階和3階行列式的計算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a21 . a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32+ a12a21a33. a31 a32 a33 一般地,一個n階行列式 a11 a12 ( a1n a21 a22 ( a2n ← ( ( an1 an2 ( ann 的值是許多項的代數(shù)和,每一項都是取自不同行,不同列的n個元素的乘積,其一般形式為 :[pic],這里把相乘的n個元素按照行標(biāo)的大小順序排列,它們的列標(biāo)j1j2(jn構(gòu)成1,2, (,n的一個全排列(稱為一個n元排列),一共有n!個n元排列,每個n元排列對應(yīng)一項,因此共 有n!個項.. 所謂代數(shù)和是在求總和時每項先要乘+1或- 1.規(guī)定τ(j1j2(jn)為全排列j1j2(jn的逆序數(shù)(即小數(shù)排列在大數(shù)后面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個數(shù) ,例如6元排列231645有4個逆序:21,31,64,65,因此 τ(231645)=4),則所乘的是[pic]于是 a11 a12 ( a1n a21 a22 ( a2n =[pic] ← ( ( an1 an2 ( ann 這里[pic]表示對所有n元排列求和.稱上式為n階行列式的完全展開式. 3.性質(zhì) 行列式有以下性質(zhì): ① 把行列式轉(zhuǎn)置值不變,即|AT|=|A| . ② 某一行(列)的公因子可提出. ③ 對一行或一列可分解,即如果某個行(列)向量α’β+γ ,則原行列式等于兩個行列式之和,這 兩個行列式分別是把原行列式的該行(列)向量α換為β或γ 所得到的行列式. ④ 把兩個行(列)向量交換, 行列式的值變號. ⑤ 如果一個行(列)向量是另一個行(列)向量的倍數(shù),則行列式的值為0. ⑥ 如果把一個行(列)向量的倍數(shù)加到另一個行(列)向量上,則行列式的值不變. 把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n- 1階行列式稱為(i,j)位元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=(- 1)i+jMij為aij的代數(shù)余子式. ⑦ 行列式可對某一行(列)展開,即行列式的值等于該行(列)的各元素與其代數(shù)余子式乘積之 和. ⑧ 某一行(列)的各元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0. ⑨ 如果A與B都是方陣(不必同階),則 A * = A O =|A|+|B|. O B * B 范德蒙行列式:形如 1 1 1 ( 1 a1 a2 a3 ( an a12 a22 a32 ( an2 ( ( ( a1n-i a2n-i a3n-i ( ann-i 的行列式(或其轉(zhuǎn)置).它由a1,a2 ,a3,(,an所決定,它的值等于 [pic] 因此范德蒙行列式不等于0( a1,a2 ,a3,(,an兩兩不同. 4.計算 行列式的核心問題是值的計算. (1)用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少 數(shù)項不為0時,才可能用它作行列式的計算.例如對角行列式,上(下)三角行列式的值就等 于主對角線上的元素的乘積,因為其它項都為0. (2)化零降階法:取定一行(列),先用性質(zhì)⑥把這行(列)的元素消到只有一個或很少幾個 不為0,再用⑦,對這行(列)展開.例如設(shè)4階行列式 1 1 1 1 D= -2 x 3 1 , 2 2 x 4 3 3 4 x 取第1行,把第2,3,4行各減去第一行,得到 1 0 0 0 x+2 5 3 x-2 2 D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =(x+2) 1 x-3 =(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x- 1)(x-4). 2 0 x-2 2 0 1 x-3 3 0 1 x-3 (3)利用性質(zhì)簡化計算,主要應(yīng)用于元素有規(guī)律的行列式,包括n階行列式. 5.克萊姆法則 克萊姆法則 當(dāng)線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)n (即系數(shù)矩陣為n階矩陣)時,如果它的系數(shù)行列式不等于0,則方程組有唯一解,這個解為( D1/D, D2/D,(,Dn/D),這里D是系數(shù)行列式的值, Di是把系數(shù)行列式的第i個列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值. 兩點說明: ① 按法則給的公式來求解計算量太大，沒有實用價值.因此法則的主要意義在理論上. (實際求解方法:對增廣矩陣(A|β)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時β變?yōu)榻?) ② 法則的改進,事實上系數(shù)行列式不等于0是唯一解的充分必要條件. 練習(xí)題一 1．計算行列式 (1) 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 . (2) 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 . 2. (1) a 0(0 b (2) a1 0 a2 0 0 0 0 b1 0 b2 0 0 c1 0 c2 0 c 0(0 d . 0 d1 0 d2 . 3. 計算n階行列式 (1) 1 2 3 … n-1 n -1 2 3 … n-1 n -1 –2 3 … n-1 n … … … … -1 –2 –3 … 1-n n ． (2) 1 -2 -2 … -2 -2 (3) 1 2 3 … n (4) 1 a1 0 … 0 0 2 2 -2 … -2 -2 2 1 2 … n-1 -1 1-a1 a2 … 0 0 2 2 3 … -2 -2 3 2 1 … n-2 0 -1 1-a2 … 0 0 … … … … … … … … … … … 2 2 2 … 2 n ． n n-1 n-2 … 1 ． 0 0 0 … -1 1-an ． 4. 設(shè)4階矩陣A=(α, γ1, γ2 ,γ3),B=(β, γ1, γ2 ,γ3),|A| =2, |B|=3 ,求|A+B| . 5. 一個三階行列式的值為8，它的第二行的元素是1，2，a，它們的余子式依次為A21=2，A 22=-1，A23=1，則a =( ). 6. x3-3 1 -3 2x+2 多項式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次數(shù)，最高次項的系數(shù)和常數(shù)項. X+3 -1 3 3x2-2 9 x3 6 -6 7. x-2 x-1 x-2 x-3 求多項式f(x)= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 的次數(shù). 3x-3 3x-2 4x-5 3x-5 4x 4x-3 5x-7 4x-3 8.已知 x-3 a -1 4 f(x)= 5 x-8 0 –2 的根為x1, x2, x3, x4,求x1+x2+x3+x4. 0. b x+1 1 2 2 1 x ...
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