華宏2003年mba聯(lián)考輔導(dǎo)資料(b)
中篇 3. 乘積矩陣的列向量組和行向量組, 設(shè)A是m(n矩陣B是n(s矩陣. A的列向量組為α1, α2,( ,αn,B的列向量組為β1, β2,( ,βs, AB的列向量組為γ1, γ2,( ,γs,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出: ① AB的每個(gè)列向量組為γi=Aβi,i=1,2,(,s. 即A(β1, β2,( ,βs)= (Aβ1,Aβ2,( ,Aβs). ② β=(b1,b2, (,bn)T,則Aβ= b1α1+b2α2+ (+bnαn. 應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到: 乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量γi是A的列向量組為α1, α2,( ,αn的線性組合,組合系數(shù)就是B的第i個(gè)列向量βI的各分量. 類似地, 乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行向量的各 分量. 以上規(guī)律在一般教材都沒(méi)有強(qiáng)調(diào),但只要對(duì)矩陣乘法稍加分析就不難看出.然而它們無(wú) 論在理論上(有助于了解代數(shù)學(xué)中各部分內(nèi)容的聯(lián)系)和解題中都是很有用的.請(qǐng)讀者注意 例題中對(duì)它們的應(yīng)用.下面是幾個(gè)簡(jiǎn)單推論. 用對(duì)角矩陣Λ從左側(cè)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用Λ的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各行 向量; 用對(duì)角矩陣Λ從右側(cè)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用Λ的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量 . 單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣. 數(shù)量矩陣kE乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用k乘此矩陣. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘. 求對(duì)角矩陣的方冪只需把對(duì)角線上的每個(gè)作同次方冪. 4. 矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣) (1) 矩陣方程 矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運(yùn)算是解下面兩中基本形式的矩陣方程. (I) AX=B. (II) XA=B. 其中A必須是行列式不等于0的n階矩陣,這樣這兩個(gè)方程都是唯一解. 當(dāng)B只有一列時(shí),(I)就是一個(gè)線性方程組.由克萊姆法則知它是唯一解.設(shè)B有s列, B= (β1, β2,( ,βs),則 X也有s列,記X=(χ1, χ2,(,χs).得到Aχi=βi,i=1,2, (,s,這些方程組都是唯一解,從而AX=B唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時(shí)求解,即 得 (I)的解法: 將A和B并列作矩陣(A|B),對(duì)它作初等行變換,使得A邊為單位矩陣,此時(shí)B邊為解X. (II)的解法:對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置得X. . 矩陣方程是歷年考題中常見(jiàn)的題型,但是考試真題往往比較復(fù)雜,要用恒等變形簡(jiǎn)化為 下上基本形式再求解. (2) 可逆矩陣 定義 設(shè)A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E, BA=E,則稱A為可逆矩陣. 此時(shí)B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A-1. 矩陣可逆性的判別: ① n階矩陣A可逆(|A|(0. ② n階矩陣A和B如果滿足AB=E,則A和B都可逆并且互為逆矩陣.(即 AB=E(BA=E.) 可逆矩陣有以下性質(zhì): ① 如果A可逆,則 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1. AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 當(dāng)c(0時(shí), cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1. 對(duì)任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k. (規(guī)定可逆矩陣A的負(fù)整數(shù)次方冪A-k=(Ak)-1=(A-1)k. ② 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1. ③ 如果A可逆,則A在乘法中有消去律: AB=0(B=0. BA=0(B=0. AB=AC(B=C. BA=CA(B=C. ④ 如果A可逆,則A在乘法中可移動(dòng)(化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊): AB=C(B=A-1C. BA=C(B=CA-1. 由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法: (I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1. 這種解法自然好記,但是計(jì)算量必初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算). (3) 逆矩陣的計(jì)算和伴隨矩陣 逆矩陣的計(jì)算有兩種方法. ①初等變換法: A-1是矩陣方程AX=E的解,于是對(duì)(A|E)用初等行變換把化為E,則E化為 A-1. ② 伴隨矩陣法 若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為 A11 A21 ( An1 A*= A12 A22 ( An2 =(Aij)T. ( ( ( A1n A2n ( Amn 規(guī)定伴隨矩陣不要求A可逆.但是在A可逆時(shí), A*和A-1有密切關(guān)系. 基本公式: AA*= A*A= |A|E. 于是對(duì)于可逆矩陣A,有 A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1. 因此可通過(guò)求A*來(lái)計(jì)算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法. 和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計(jì)算量要大得多,除非n=2,一般不用它來(lái)求逆矩陣.對(duì)于2階矩陣 a b * d -b c d = -c a , 因此當(dāng)ad-bc(0時(shí), a b -1 d -b c d = -c a (ad-bc) . 伴隨矩陣的其它性質(zhì): ① 如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*. ② |A*|=|A|N-1. ③ (A-T)*=(A*)T. ④ (cA)*=c n-1A*. ⑤ (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k. ⑥ (A*)*=|A|N-2 A. 練習(xí)題二 1.設(shè)α=(1,2,3,4)T,β=(1,1/2,1/3/1/4)T, “=αβT, 求“n . 1 1/2 0 2．設(shè)“= 2 1 0 ，求“n． 1 1/2 0 1 0 0 3．設(shè)α=(1,0,1)T,β=(0,1,1)T,P= 1 1 0 , A= P-1αβ TP,求A2003. 0 0 1 4. 設(shè)α’( 1,-1,2)T ,β’(2, 3, 2)T , -1 2 0 “ ’ 0 1 1 ，B=“αβ T ,求B5． 3 0 -1 5． 已知3階行列式|α,β,γ|=3，求|3α-β+2γ,-α+β+γ,2α+5β-7γ|. 6．已知 3 0 1 A= 1 1 0 ，AB=A+2B，求B． 0 1 4 7． 已知 0 1 0 1 -1 A= -1 1 1 ，B= 2 0 ，X=AX+B,求X. -1 0 -1 5 3 8．已知 1 -2 0 B= 2 1 0 ，(A- E)B = A，求A. 0 0 2 9．已知 1 1 -1 “= -1 1 1 ，“*X’ “-1+2X，求X． 1 -1 1 10．已知 0 1 1 “= 1 0 1 ，“-1Β“’6“+Β“，求Β． 0 1 0 11. 1 0 0 設(shè) “ = -2 3 0 , Β=(“+E)-1(“-E),則(Β-E)-1= . 0 -4 5 12. A是一個(gè)3階矩陣, 3維向量組γ1, γ2 ,γ3線性無(wú)關(guān),滿足Aγ1=γ2+γ3, Aγ2=γ1+γ3, Aγ3=γ1+ γ2 .求|A|. 13. 設(shè) 1 0 0 1 0 0 “ = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 1 14. 2 0 0 設(shè) “ =(1/2) 0 1 3 ,求(A*)-1. 0 2 5 15．設(shè)n階矩陣“滿足“2+3“- 2Ε’0，證明“可逆，并求“-1和(“+Ε)-1 22222 16.設(shè)n階矩陣“ 滿足“K’0，(k為一個(gè)自然數(shù))，證明Ε-“可逆. 17．設(shè)n階矩陣“ 滿足“2-3“+2Ε’0， 并且A不是數(shù)量矩陣．問(wèn)a為什么數(shù)時(shí)A-aE可逆？ 18. 已知n階矩陣“2’“, (“+Β) 2’“2+Β 2, 證明 “Β’0． 19．設(shè)A，B，C都是n階可逆矩陣，D=(ABAC)-1，證明BACD=CDAB． 20．設(shè)A，B都是n階矩陣，AB+E可逆．證明BA+E也可逆，并且 (BA+E)-1=E-Β(AB+E)-1A ． 21．A，B都是n階矩陣，并且B和E +AB都可逆，證明： Β(E +AΒ)-1Β-1’ E-Β(E + AB)-1A ． 22.設(shè)A,Β是兩個(gè)n階矩陣，則（ ）是A,Β 可交換的充分必要條件. (A) (A+Β)3= A3+3A2Β +3AΒ2+Β3 .(B) A2與Β2可交換. (C) A+Β與A-Β可交換. (D) (AΒ)2’A2Β2. 23．設(shè)A,B是兩個(gè)n階矩陣,滿足(AB)2=E,則( )成立. (A) AB=E.(B) |A||B|=1.(C) AB=BA.(D)(BA)2=E . 24.設(shè)A,B是兩個(gè)3階矩陣,|A-1|=2,|B-1|=3,則|A*B-1-A-1B*|=( ). (A)36.(B)1/36.(C)-6.(D) 6. 25．已知3階矩陣“滿足: 2 1 -3 -5 -3 9 “2= 1 1 -2 , “3= -3 -2 6 , 求“. -3 -2 6 9 6 –17 26．設(shè)A,B是兩個(gè)n階矩陣,則( )成立. (A) 如果A,B都可逆,則 AB= BA. (B)如果AB是非零數(shù)量矩陣,則AB= BA. (C) 如果A*B= BA*,則AB= BA. (D)如果(AB)2= A2B2,則AB= BA. 27．設(shè)α=(-1,-1,2), β=(1,1,0), “=2E+αTβ ,B=E+3β Tα ,則AB-BA= . 參考答案 1. 4n“ . 2． 2 n-1“. 1 1 1 3．A2003= A=-1 -1 -1 . 1 1 1 4. -6 -9 -9 B5’B=“αβ T ’ 2 3 3 ． 2 3 3 5． -135. 6． 5 -2 -2 B= 4 –3 –2 . -2 2 3 7． 3 -1 X= 2 0 . 1 -1 3 8． 1 1/2 0 A= -1/2 1 0 . 0 0 1 9． 1 1 0 X’1/4 0 1 1 . 1 0 1 10 2 2 2 B=-3 1 3 2 . 1 1 2 11. (Β-E)-1= -(“+E)/2. 12. 2. 13. 設(shè) 1 0 0 1 0 0 “ = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 1 14. (A*)-1=-4“. 15． “-1=(“+3Ε)/2 ,(“+Ε)-1= (“+2Ε)/4. 22222 16.設(shè)n階矩陣“ 滿足“K’0，(k為一個(gè)自然數(shù))，證明Ε-“可逆. 17． A不等于1和2. 18. 已知n階矩陣“2’“, (“+Β) 2’“2+Β 2, 證明 “Β’0． 19．設(shè)A，B，C都是n階可逆矩陣，D=(ABAC)-1，證明BACD=CDAB． 20．設(shè)A，B都是n階矩陣，AB+E可逆．證明BA+E也可逆，并且 (BA+E)-1=E-Β(AB+E)-1A ． 21．A，B都是n階矩陣，并且B和E +AB都可逆，證明： Β(E +AΒ)-1Β-1’ E-Β(E + AB)-1A ． 22. (C). 23．(D). 24. (B). 25． -1 0 1 0 0 1 . 1 1 -2 26．(B). 27． –2 –2 -2 AB-BA=3(αTββ Tα-β TααTβ)=6 –2 –2 -2 . –2 –2 4 第四章 向量組的線性關(guān)系與秩 1. 向量組的線性表示關(guān)系 如果n維向量β等于n維向量組α1, α2,( ,αs的一個(gè)線性組合，就說(shuō)β可以用α1, α2,( ,αs線性表示. 判別“β是否可以用α1, α2,( ,αs線性表示? 表示方式是否唯一？”就是問(wèn)：向量方程 x1α1+ x2α2+( +xsαs=β 是否有解？解是否唯一？這個(gè)向量方程用分量寫出就是以(α1, α2,( ,αs |β)為增廣矩陣的線性方程組. 設(shè)α1, α2,( ,αs 和β1, β2,( , βt 都是n維向量組,如果每個(gè)βi都可以用α1, α2,( ,αs線性表示,則說(shuō)向量組β1, β2,( , βt可以用α1, α2,( ,αs線性表示. 例如, 乘積矩陣AB的列向量組可以用A的列向量組線性組合.反之,如果向量組β1, β2,( , βt可以用α1, α2,( ,αs線性表示,則矩陣(β1, β2,( , βt)等于矩陣(α1, α2,( ,αs)和一個(gè)s(t矩陣C的乘積. C可以這樣構(gòu)造: 它的第i個(gè)列向量就是βi對(duì)α1, α2,( ,αs的分解系數(shù). 當(dāng)向量組α1, α2,( ,αs 和β1, β2,( , βt 互相都可以表示時(shí),就說(shuō)它們互相等價(jià),并記作{α1, α2,( ,αs }({β1, β2,( , βt} . 向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性,從而等價(jià)關(guān)系也有傳遞性. 2. 向量組的線性相關(guān)性 線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念. 定義 設(shè)α1, α2,( ,αs 是n維向量組,如果存在不全為0的一組數(shù)c1,c2,( ,cs使得 c1α1+ c2α2+( ,+csαs=0, 則說(shuō)α1, α2,( ,αs 線性相關(guān),否則(即要使得c1α1+ c2α2+( ,+csαs=0,必須c1,c2,( ,cs全為0)就說(shuō)它們線性無(wú)關(guān). 于是, α1, α2,( ,αs “線性相關(guān)還是無(wú)關(guān)”即x1α1+ x2α2+( ,+xsαs=0“有還是沒(méi)有非0解”, 也就是以(α1, α2,( ,αs )為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無(wú)非0解. 一個(gè)向量(s=1)相關(guān)(無(wú)關(guān))即它是(不是)零向量. 與線性相關(guān)性有關(guān)的性質(zhì): ① α1, α2,( ,αs 線性相關(guān)(至少有一個(gè)αi可以用其它向量線性表示. ② 當(dāng)向量的個(gè)數(shù)s大于維數(shù)n時(shí), α1, α2,( ,αs 一定線性相關(guān). ③ 線性無(wú)關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無(wú)關(guān)(從而每個(gè)向量就不是0). ④ 如果α1, α2,( ,αs 線性相關(guān),而α1, α2,( ,αs,β線性相關(guān),則β可用α1, α2,( ,αs 線性表示. ⑤ 如果β可用α1, α2,( ,αs 線性表示,則表示方式唯一(α1, α2,( ,αs 線性無(wú)關(guān). ⑥ 如果β1, β2,( , βt可以用α1, α2,( ,αs線性表示，并且t>s,則 β1.β2,(,βt 線性相關(guān). 推論 如果兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組互相等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. 3.向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩 秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”的一個(gè)數(shù)量概念.它表明向量組可以有多大的線性無(wú)關(guān)的部分 組. 定義 設(shè)α1, α2,( ,αs 是n維向量組,(I)是它的一個(gè)部分組.如果 ① (I) 線性無(wú)關(guān). ② (I) 在擴(kuò)大就線性相關(guān). 就稱(I)為α1, α2,( ,αs 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. 條件②可換為:任何αI都可用(I) 線性表示.也就是(I) 與α1, α2,( ,αs 等價(jià). 當(dāng)α1, α2,( ,αs 不全為零向量時(shí), 它就存在極大無(wú)關(guān)組, 并且任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià),從而包含的向量個(gè)數(shù)相等, 定義 如果α1, α2,( ,αs 不全為零向量,則把它的極大無(wú)關(guān)組中所包含向量的個(gè)數(shù)(是一個(gè)正整數(shù))稱為α1, α 2,( ,αs 的秩,記作r(α1, α2,( ,αs ).如果α1, α2,( ,αs 全是零向量,則規(guī)定r(α1, α2,( ,αs )=0. 秩有以下性質(zhì): ① α1,...
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