期權(quán)價(jià)格的敏感性和期權(quán)的套期保值
期權(quán)價(jià)格的敏感性和期權(quán)的套期保值 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 本章是期權(quán)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本章的重要內(nèi)容之一，就是介紹了期權(quán)價(jià)格對其四個(gè) 參數(shù)（標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率）的敏感性指標(biāo)，并以此為 基礎(chǔ)討論了相關(guān)的動(dòng)態(tài)套期保值問題。學(xué)習(xí)完本章，讀者應(yīng)能掌握與期權(quán)價(jià)格敏感性有 關(guān)的五個(gè)希臘字母及其相應(yīng)的套期保值技術(shù)。 在前面幾章中，我們已經(jīng)分析了決定和影響期權(quán)價(jià)格的各個(gè)重要因素，以及這些因素 對期權(quán)價(jià)格的影響方向。進(jìn)一步來看，根據(jù)Black- Scholes期權(quán)定價(jià)公式（[pic]），我們還可以更深入地了解各種因素對期權(quán)價(jià)格的影響 程度，或者稱之為期權(quán)價(jià)格對這些因素的敏感性。具體地說，所謂期權(quán)價(jià)格的敏感性， 是指當(dāng)這些因素發(fā)生一定的變化時(shí)，會(huì)引起期權(quán)價(jià)格怎樣的變化。本章的重要內(nèi)容之一 ，就是對期權(quán)價(jià)格的敏感性作具體的、量化的分析，介紹期權(quán)價(jià)格對其四個(gè)參數(shù)（標(biāo)的 資產(chǎn)市場價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率）的敏感性指標(biāo)。 如果我們從另一個(gè)角度來考慮期權(quán)價(jià)格的敏感性，我們可以把它看作當(dāng)某一個(gè)參數(shù)發(fā) 生變動(dòng)時(shí)，期權(quán)價(jià)格可能產(chǎn)生的變化，也就是可能產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)。顯然，如果期權(quán)價(jià)格對 某一參數(shù)的敏感性為零，可以想見，該參數(shù)變化時(shí)給期權(quán)帶來的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)就為零。實(shí)際 上，當(dāng)我們運(yùn)用衍生證券（如期權(quán)）為標(biāo)的資產(chǎn)或其它衍生證券進(jìn)行套期保值時(shí)，一種 較常用的方法就是分別算出保值工具與保值對象兩者的價(jià)值對一些共同的變量（如標(biāo)的 資產(chǎn)價(jià)格、時(shí)間、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率、無風(fēng)險(xiǎn)利率等）的敏感性，然后建立適當(dāng)數(shù) 量的證券頭寸，組成套期保值組合，使組合中的保值工具與保值對象的價(jià)格變動(dòng)能相互 抵消，也就是說讓套期保值組合對該參數(shù)變化的敏感性變?yōu)榱悖@樣就能起到消除相應(yīng) 風(fēng)險(xiǎn)的套期保值的目的。這就是我們在本章將要介紹的“動(dòng)態(tài)套期保值”技術(shù)。 第一節(jié) Delta與期權(quán)的套期保值 期權(quán)的Delta用于衡量期權(quán)價(jià)格對標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格變動(dòng)的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格 變化與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率。用數(shù)學(xué)語言表示，期權(quán)的Delta值等于期權(quán)價(jià)格對標(biāo)的 資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)；顯然，從幾何上看，它是期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格關(guān)系曲線切線的 斜率。 一、期權(quán)Delta值的計(jì)算 令f表示期權(quán)的價(jià)格，S表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，[pic]表示期權(quán)的Delta，則： [pic] （12.1） 根據(jù)Black- Scholes期權(quán)定價(jià)公式（[pic]）和相應(yīng)的無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式（[pic]）， 我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的Delta值為： [pic] 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的Delta值為： [pic] 其中d1的定義與式（11.2）相同。 當(dāng)期權(quán)更為復(fù)雜的時(shí)候，相應(yīng)地期權(quán)的Delta值也更為復(fù)雜。例如支付已知紅利率q（ 連續(xù)復(fù)利）的歐式看漲期權(quán)的Delta值為 [pic] 第十三章將給出股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的相應(yīng)Delta值。 二、期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析 根據(jù)累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)可知，[pic]，因此無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的[pic]總 是大于0但小于1；而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的[pic]則總是大于- 1小于0。反過來，作為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)空頭，其Delta值就是總是大于- 1小于0；而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)空頭的[pic]則總是大于0小于1。 從d1定義可知，期權(quán)的[pic]值取決于S、r、[pic]和T- t，根據(jù)期權(quán)價(jià)格曲線的形狀（如圖10.3和圖10.4所示），我們可知無收益資產(chǎn)看漲期權(quán) 和歐式看跌期權(quán)的[pic]值與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系如圖12.1（a）和（b）所示。 [pic] 圖12.1 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)Delta值與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系 從N（d1）函數(shù)的特征還可得出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)在實(shí)值、平價(jià)和 虛值三種狀況下的[pic]值與到期期限之間的關(guān)系如圖12.2（a）和（b）所示。 [pic] 圖12.2 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與到期期限之間的關(guān)系 此外，無風(fēng)險(xiǎn)利率水平越高，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的[pic]值也越高 ，如圖12.3（a）和（b）所示。 [pic]圖12.3 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與r之間的關(guān)系 然而，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（[pic]）對期權(quán)[pic]值的影響較難確定，它取決于無風(fēng) 險(xiǎn)利率水平S與X的差距、期權(quán)有效期等因素。但可以肯定的是，對于較深度虛值 的看漲期權(quán)和較深度實(shí)值的看跌期權(quán)來說，[pic]是[pic]的遞增函數(shù)，其圖形與圖12.3 （a）和（b）相似。 三、證券組合的Delta值 事實(shí)上，不僅期權(quán)有Delta值，金融現(xiàn)貨資產(chǎn)和遠(yuǎn)期、期貨都有相應(yīng)的Delta值。顯然 ，對于期權(quán)的標(biāo)的現(xiàn)貨資產(chǎn)來說，其Delta值就等于1。運(yùn)用第三章中關(guān)于遠(yuǎn)期合約價(jià)值 的計(jì)算公式（3.1）可知，股票的遠(yuǎn)期合約的[pic]同樣恒等于1。這意味著我們可用一股 股票的遠(yuǎn)期合約空頭（或多頭）為一股股票多頭（或空頭）保值，且在合約有效期內(nèi)， 無需再調(diào)整合約數(shù)量。但是，期貨合約的Delta值就不同了。由于期貨是每天結(jié)算的，因 此期貨合約的收益變化源于期貨價(jià)格的變化，也就是說，我們需要運(yùn)用期貨價(jià)格公式計(jì) 算出Delta值。因此，無收益資產(chǎn)和支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨合約的[pic]值為： [pic] 支付已知收益率（q）資產(chǎn)期貨合約的[pic]值為： [pic] 值得注意的是，這里給出的Delta值都是針對多頭而言的，和期權(quán)一樣，相應(yīng)空頭的 Delta值只是符號發(fā)生了相反的變化。 這樣，當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)、該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭 寸時(shí)，該證券組合的[pic]值就等于組合中各種資產(chǎn)[pic]值的總和（注意這里的標(biāo)的資 產(chǎn)都應(yīng)該是相同的）： [pic] （12.2） 其中，wi表示第i種證券的數(shù)量，[pic]i表示第i種證券的[pic]值。 四、Delta中性狀態(tài)與套期保值 由于標(biāo)的資產(chǎn)和相應(yīng)的衍生證券可取多頭或空頭，因此其[pic]值可正可負(fù)，這樣， 若組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)及其他衍生證券數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑?，整個(gè)組合的[pic]值就可能 等于0。我們稱[pic]值為0的證券組合處于Delta中性狀態(tài)。 當(dāng)證券組合處于[pic]中性狀態(tài)時(shí)，組合的價(jià)值顯然就不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響 ，從而實(shí)現(xiàn)了套期保值。但是值得強(qiáng)調(diào)的是，證券組合處于[pic]中性狀態(tài)只能維持一個(gè) 很短的時(shí)間，因?yàn)镈elta實(shí)質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)。因此，我們只能說，當(dāng)證券組合處于[pic]中性 狀態(tài)時(shí)，該組合價(jià)值在一個(gè)“短時(shí)間”內(nèi)不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)了“瞬時(shí) ”套期保值。 這樣一個(gè)[pic]中性狀態(tài)的套期保值組合提示我們，當(dāng)我們手中擁有某種證券或證券 組合時(shí)，可以通過相應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)、期權(quán)、期貨等進(jìn)行相互保值，使證券組合的[pic]值 等于0，也就是不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的影響。這種套期保值方法稱為[pic]中性保值法 ，又因?yàn)閇pic]中性保值只是在瞬間實(shí)現(xiàn)的，隨著S、T- t、r和[pic]的變化，[pic]值也在不斷變化，因此需要不斷調(diào)整保值頭寸以便使保值組 合重新處于[pic]中性狀態(tài)，這種調(diào)整稱為再均衡（Rebalancing），因此這種保值方法 屬于“動(dòng)態(tài)套期保值”。 下面我們分別通過兩個(gè)例子來說明運(yùn)用期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)保值和運(yùn)用標(biāo)的資產(chǎn)或其他資 產(chǎn)為期權(quán)保值的[pic]中性保值法。 例12.1 美國某公司持有100萬英鎊的現(xiàn)貨頭寸，假設(shè)當(dāng)時(shí)英鎊兌美元匯率為1英鎊=1.6200美 元，英國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為13%，美國為10%，英鎊匯率的波動(dòng)率每年15%。為防 止英鎊貶值，該公司打算用6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為1.6000美元的英鎊歐式看跌期權(quán)進(jìn)行保值 ，請問該公司應(yīng)買入多少該期權(quán)？ 英鎊歐式看跌期權(quán)的[pic]值為： [pic] 而英鎊現(xiàn)貨的[pic]值為+1，故100萬英鎊現(xiàn)貨頭寸的[pic]值為+100萬。為了抵消現(xiàn) 貨頭寸的[pic]值，該公司應(yīng)買入的看跌期權(quán)數(shù)量等于： [pic]萬 即，該公司要買入218.34萬英鎊的歐式看跌期權(quán)。當(dāng)然，這只是適合于短時(shí)間內(nèi)的保 值頭寸。 例12.2[1] 某金融機(jī)構(gòu)在OTC市場出售了基于100 000股不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，收入$300 000。該股票的市場價(jià)格為$49，執(zhí)行價(jià)格為$50，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年利率5%，股票價(jià)格波動(dòng) 率為年20%，距離到期時(shí)間為20周。由于該金融機(jī)構(gòu)無法在市場上找到相應(yīng)的看漲期權(quán)多 頭對沖，這樣就面臨著風(fēng)險(xiǎn)管理的問題。 在這里我們可以運(yùn)用[pic]中性保值法。我們可以用標(biāo)的資產(chǎn)即股票為此期權(quán)進(jìn)行套 期保值操作。由于該金融機(jī)構(gòu)目前的頭寸是歐式看漲期權(quán)空頭，這意味著他們目前的[pic] 值是負(fù)的，這樣，我們需要用正的[pic]值進(jìn)行對沖，即應(yīng)該購買標(biāo)的資產(chǎn)，才能構(gòu)建[pic] 中性組合。之后，我們還需要不斷地調(diào)整標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量，以適應(yīng)期權(quán)[pic]值的變化。 在實(shí)際中，過于頻繁的動(dòng)態(tài)調(diào)整需要相當(dāng)?shù)慕灰踪M(fèi)用，因此我們假設(shè)保值調(diào)整每周進(jìn)行 一次。 根據(jù)題目， [pic] 初始的Delta值為[pic]。這意味著在出售該看漲期權(quán)的同時(shí)，需要借入[pic]以49美 元的價(jià)格購買52 200股股票。第一周內(nèi)發(fā)生的相應(yīng)利息費(fèi)用為$2 500。表12- 1給出了期權(quán)到期時(shí)為實(shí)值和虛值兩種狀況下的模擬保值過程。 從表12- 1（a）可知，到第一周末，股票價(jià)格下降到[pic]。這使得Delta值下降到0.458,要保持 Delta中性，必須出售6 400股股票，得到$308 000的現(xiàn)金，從而使得成本下降。之后，如果Delta值上升，就需要再借錢買入股票；如 果Delta值下降，就賣出股票減少借款。在期權(quán)接近到期時(shí)，很明顯為實(shí)值期權(quán)，期權(quán)將 被執(zhí)行，Delta值接近1。因此，到20周時(shí)，該金融機(jī)構(gòu)具有完全的抵補(bǔ)標(biāo)的資產(chǎn)頭寸， 累積成本為$5 261 500。當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時(shí)，金融機(jī)構(gòu)將其所持有的股票出售，獲得$5 000 000 ，因此總的套期保值成本為$261 500。 表12- 1（b）給出了另一種價(jià)格序列，即到期時(shí)期權(quán)處于虛值狀態(tài)的情形。顯然到期時(shí)期權(quán)不 會(huì)被執(zhí)行，Delta值接近0，而該金融機(jī)構(gòu)最后不會(huì)持有標(biāo)的資產(chǎn)，總計(jì)成本為$257 800。 如果把表12-1（a）和表12- 1（b）中的最后套期保值成本貼現(xiàn)到期初，則我們會(huì)發(fā)現(xiàn)應(yīng)用標(biāo)的資產(chǎn)對該期權(quán)進(jìn)行[pic] 中性保值的成本近似于運(yùn)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來的$240 000，但不完全相等，不完全相等的原因在于調(diào)整頻率較低。如果我們采用的是瞬時(shí)連續(xù) 調(diào)整，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是完全相等的。 表12-1（a） Delta對沖的模擬：實(shí)值期權(quán)的情形，保值成本＝$261 500 |周次|股票價(jià) |Delta|購買股票數(shù)|購買股票成本|累計(jì)成本（包 |利息費(fèi)用 | | |格 | | | |括上周利息費(fèi) |（以$1 | | | | | | |用，以 |000為單位| | | | | | |$1 000為單位 |） | | | | | | |） | | |0 |49 |0.522|52 200 |2 557.8 |2 557.8 |2.5 | |1 |[pic] |0.458|-6 400 |-308.0 |2 252.3 |2.2 | |2 |[pic] |0.400|-5 800 |-274.8 |1 979.7 |1.9 | |3 |[pic] |0.596|19 600 |984.9 |2 966.5 |2.9 | |4 |[pic] |0.693|9 700 |502.0 |3 471.4 |3.3 | |5 |[pic] |0.744|8 100 |430.3 |3 905.0 |3.8 | |6 |53 |0.711|-300 |-17.9 |3 890.9 |3.7 | |7 |[pic] |0.706|-6 500 |-337.2 |3 557.4 |3.4 | |8 |[pic] |0.674|-3 200 |-164.4 |3 396.4 |3.3 | |9 |53 |0.787|11 300 |598.9 |3 998.6 |3.8 | |10 |[pic] |0.550|-23 700 |-1 182.0 |2 820.4 |2.7 | |11 |[pic] |0.413|-13 700 |-664.4 |2 158.7 |2.1 | |12 |[pic] |0.542|12 900 |643.4 |2 804.2 |2.7 | |13 |[pic] |0.591|4 900 |24.8 |3 053.7 |2.9 | |14 |[pic] |0.768|17 700 |922.6 |3 979.2 |3.8 | |15 |[pic] |0.759|-900 |-46.7 |3 936.3 |3.8 | |16 |[pic] |0.865|10 600 |560.5 |4 500.6 |4.3 | |17 |[pic] |0.978|11 300 |620.1 |5 125.0 |4.9 | |18 |[pic] |0.990|1 200 |65.6 |5 195.5 |5.0 | |19 |[pic] |1.000|1 000 |55.9 |5 256.4 |5.1 | |20 |[pic] |1.000|0 |0.0 |5 261.5 | | |總計(jì)| | |100 000 | | | | 在現(xiàn)實(shí)生活中，金融機(jī)構(gòu)很少直...
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