概率統(tǒng)計(jì)(1-1)(a)
序言 2002.7.20 科學(xué)研究的對(duì)象是客觀現(xiàn)象的規(guī)律性。概率統(tǒng)計(jì)是研究客觀現(xiàn)象，只對(duì)現(xiàn)象的發(fā)生或不 發(fā)生感興趣，并不涉及現(xiàn)象的內(nèi)在性質(zhì)。人們?cè)谘芯孔匀唤绾腿祟惿鐣?huì)中各種事物運(yùn)動(dòng) 的變化規(guī)律時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)兩類很不相同的現(xiàn)象。一類現(xiàn)象是在一定的條件之下，事物運(yùn)動(dòng)變 化的規(guī)律是確定的．一旦認(rèn)識(shí)了這些規(guī)律就可以事先作出正確的預(yù)言。例如太陽(yáng)從東方 升，?。玻常剑?，等等． 這一類現(xiàn)象我們稱之為確定性現(xiàn)象．早期的科學(xué)家就是研究這一類現(xiàn)象規(guī)律性，所用的 數(shù)學(xué)工具是幾何，代數(shù)，微積分等． 但是在自然界和人類社會(huì)中還廣泛地存在著與確定性現(xiàn)象有著本質(zhì)不問(wèn)的另一類現(xiàn)象， 例如：（１）拋擲一枚硬幣事先并不能正確地預(yù)言結(jié)果是出現(xiàn)正面或反面； （２）打橋牌時(shí)事先無(wú)法預(yù)料是否能分到有四張A的， 這類現(xiàn)象共同特點(diǎn)是在基本條件不變的情況下作一系列試驗(yàn)或觀察會(huì)得到各種不同的結(jié) 果．換句話說(shuō)，僅僅就一次試驗(yàn)或觀察而言它會(huì)時(shí)會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)果，時(shí)而出現(xiàn)那種結(jié)果 ，呈現(xiàn)出一種偶然性，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象． 概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。 概率統(tǒng)計(jì)具有嚴(yán)密、深刻的理論體系。然而，它又是一門(mén)應(yīng)用學(xué)科，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍 事、醫(yī)學(xué)、公共事業(yè)及尖端科學(xué)等幾乎所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域獲得越來(lái)越重要的應(yīng)用．今天 ，概率論已成為有廣泛應(yīng)用的，有深刻理論基礎(chǔ)的，蓬勃發(fā)展的一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科了． 具體地，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性，其主要內(nèi)容： 古典概型 獨(dú)立試驗(yàn)序列概型 ( 十七世紀(jì) ) ( 十八世紀(jì) ) 極限定理 嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、深刻的 (十八、九世紀(jì)) 　 理論研究及實(shí)際的應(yīng)用 ( 二十世紀(jì) ) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于數(shù)據(jù)資料的收集、整理、分析和推理的科學(xué)，側(cè)重與應(yīng)用研究隨機(jī)現(xiàn) 象的本身的規(guī)律性來(lái)考慮資料的收集、整理、分析，從而找出相應(yīng)隨機(jī)本來(lái)的分布律或 它的數(shù)字特征，盡可能作出較合理精確的推斷。它包括二大類內(nèi)容： （1）試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和研究：如何更合理更有效獲得觀察資料的方法； （2）統(tǒng)計(jì)推斷：如何利用一定的資料對(duì)所關(guān)心的問(wèn)題盡可能作出合理可靠的結(jié)論。 本書(shū)前五章是概率論，后幾章是數(shù)理統(tǒng)計(jì)，兩者緊密聯(lián)系，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論 基礎(chǔ)。 第一章　　　隨機(jī)事件與概率 §1 隨機(jī)事件與事件的運(yùn)算： 一. 隨機(jī)試驗(yàn): 概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科．為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要對(duì)客觀 事物進(jìn)行觀察和試驗(yàn)，我們把這種觀察和試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)．概率論中所研究的試驗(yàn)具有 下列特點(diǎn)： (1) 可以在相同的條件可重復(fù)進(jìn)行。 (2) 試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且在試驗(yàn)前能明確可知所有可能的結(jié)果。 (3) 試驗(yàn)前無(wú)法預(yù)知哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。 我們把具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)．在重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)個(gè)別結(jié)果發(fā)生與否具有偶 然性，但當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)大時(shí)，總有某種規(guī)律性出現(xiàn)． 例如： 拋—枚均勻硬幣，觀察其出現(xiàn)正反面朝上情況，一次試驗(yàn)就是拋一枚硬幣，這是隨機(jī)試驗(yàn) ， 試驗(yàn)的可能結(jié)果有兩個(gè)： 出現(xiàn)正面、出現(xiàn)反面． 在試驗(yàn)前無(wú)法斷言哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，但重復(fù)多次后，“出現(xiàn)正面”這個(gè)結(jié)果的相對(duì)頻率卻呈 現(xiàn)出穩(wěn)定性(即接近0．5)，這便是規(guī)律． 二．隨機(jī)事件： １．隨機(jī)事件的粗略定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生的結(jié)果或可能不發(fā)生結(jié)果稱為隨機(jī)事 件，簡(jiǎn)稱為事件，常用字Ａ、Ｂ、[pic]表示． 1. 　【例１】拋—枚均勻硬幣，“正面朝上”這個(gè)事件（記作Ａ）是一個(gè)隨機(jī)事件　 ，簡(jiǎn)寫(xiě)為 Ａ＝“正面朝上”， 　　　　　　　　　　　　　　　＂ 同樣地，有　　　?。拢?“正面朝下”． ２．常用與最基本事件： （１）基本事件與復(fù)合事件： 在一隨機(jī)試驗(yàn)中，它的每一個(gè)最簡(jiǎn)單不能再分解的結(jié)果稱為基本隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱基 本事件。例如：擲一枚骰子這一試驗(yàn)，出現(xiàn) 　　　　　“１點(diǎn)”， “２點(diǎn)”，“３點(diǎn)”，“４點(diǎn)”，“５點(diǎn)”，“６點(diǎn)”， 都是基本隨機(jī)事件，可分別用 　　　　　　　[pic][pic]＝“[pic]點(diǎn)”　[pic] 表示． 在一個(gè)試驗(yàn)中，由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件復(fù)合而成，稱它為復(fù)合隨機(jī)事件。簡(jiǎn)稱復(fù)合 事件． 例如：擲一枚骰子這一試驗(yàn)，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)是一復(fù)合事件，它是由出現(xiàn) “２點(diǎn)”，“４點(diǎn)”， “６點(diǎn)”， 三個(gè)基本事件，而且當(dāng)且僅當(dāng)上述三個(gè)基本隨機(jī)事件中的一個(gè)發(fā)生，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)這一復(fù) 合隨機(jī)事件發(fā)生，可用[pic]表示． （２）必然事件：在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事情稱之為必然事件，記為[pic]． （３）不可能事件：在一定條件下必定不會(huì)發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為[pic]． 【注意】◆　隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件都是相對(duì)一定試驗(yàn)條件而言，例如：擲一 枚骰子這一試驗(yàn)，出現(xiàn)“７點(diǎn)”是不可能事件，但如果試驗(yàn)條件改為擲兩枚骰子 就不是不可能事件． 　　　　◆　為討論方便，必然事件、不可能事件都視為隨機(jī)事件，作為極端情況． 三．樣本點(diǎn)與樣本空間： 為研究方便起見(jiàn)，事件之間的關(guān)系及運(yùn)算利用集合工具是有益的． 1. 樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為[pic]． 2. 樣本空間：由所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間或稱為基本事件空間，記為 [pic]．　　 樣本空間也就是必然事件，這是因?yàn)樵诿看卧囼?yàn)必然出現(xiàn)[pic]中的某個(gè)基本事件，也 即必然發(fā)生，因此，仍用[pic]表，而任何一個(gè)隨機(jī)事件Ａ都是樣本空間[pic]的一個(gè) 子集. 【例２】 在【例１】中，令[pic][pic]＝“正面朝上”，　[pic]＝“正面朝下”，　則有 　　　　　　　　　　[pic] ＝[pic][pic][pic]，　[pic][pic]; 又若 令 0=“正面朝上”， 1=“正面朝下”， 則有 [pic] ＝[pic]0，　1[pic] 【例３】 從標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的十個(gè)完全相同的球中任取一個(gè)， 　　　　令　[pic][pic]＝“取得[pic]號(hào)球　”　[pic]，則樣本空間 　　　[pic] ＝[pic][pic][pic]，[pic]， [pic] [pic] 　【例４】擲兩枚骰子，其樣本空間 [pic][pic]，　共有３６個(gè)樣本點(diǎn)． 5. 你的一個(gè)同學(xué)約定在某天晚上7點(diǎn)到８點(diǎn)之間來(lái)你家作客。 令　[pic][pic]＝“來(lái)到你家的時(shí)間”，則 　　　　　　[pic] ＝[pic] 四．事件的關(guān)系和運(yùn)算 1. 事件的包含和相等： 設(shè)有事件Ａ及Ｂ，如果Ａ發(fā)生，那么B必發(fā)生， 則稱事件Ｂ包含事件A，記為 　　　　　　　　?。羀pic]Ｂ　或　Ｂ[pic]Ａ, 　如果事件Ａ包含事件Ｂ，同時(shí)事件Ｂ也包含事件Ａ　則稱事件Ａ與Ｂ相等，記為 Ａ＝Ｂ 特別地，　　對(duì)任一個(gè)事件[pic]，有　[pic]?。　　?２ 事件的和（并）：兩事件Ａ與Ｂ中至少發(fā)生一個(gè)，這一事件稱為事件Ａ與事件B的和或并 ，記作 　　　　　　　　　[pic]Ａ＋Ｂ　　或　Ａ[pic]Ｂ　　 類似地，可定義n個(gè)事件及可列無(wú)限個(gè)事件的和。若幾個(gè)事件[pic]中至少有一個(gè)發(fā)生 ，則稱這一事件[pic]為的和或并，記為 　　　　[pic][pic] 　　或　　[pic] 若可列無(wú)限個(gè)事件[pic]，…　中至少有一個(gè)發(fā)生，則稱這一事件為[pic]，…　的和或 并，記為 　　　　　[pic][pic] 　　或　　[pic] ３．事件的積(交) 兩事件A與B同時(shí)發(fā)生，稱這—事件為事件A與事件B的積或交，記為 　　　?。羀pic]Ｂ　或?。粒?類似地，可定義n個(gè)事件及可列無(wú)限個(gè)事件的積。 ４. 事件的差: 事件4發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的差， 記為 A [pic] B 　　　　　　　　　　　　　　　　　 特別地，　　對(duì)任一個(gè)事件[pic]，有　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　[pic]，　[pic]，　　[pic]　 ５. 不相容(互斥) 事件: 若兩事件A與B不能同時(shí)發(fā)生， 則稱事件A與事件B是互不相容的或互斥的, 記為 A[pic]B=[pic] 或 AB=[pic] 類似地，若n個(gè)事件[pic]，任意兩個(gè)事件是互不相容的，即　滿足 　當(dāng)[pic]時(shí)，[pic]　[pic] 則稱這n個(gè)事件是互不相容的或這n個(gè)事件是兩兩互不相容的。 ----------------------- [pic][pic]
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