離散型隨機變量2-2
§2 離散型隨機變量 研究一個離散型隨機變量不僅要知道它可能取值而且要知道它取每一個可能值的 概率． 一．概率分布： 設(shè)離散型隨機變量[pic]的可能取值是有限個或可數(shù)個值，設(shè)[pic]的可能取值： 　　　[pic] 為了完全描述隨機變量[pic]，只知道Ｘ的可能取值是很不夠的，還必須知道[pic] 取各種值的概率，也就是說要知道下列一串概率的值： [pic] 　　　　記　[pic]，將[pic]的可能取值及相應(yīng)的既率成下表 [pic] 　　　這個表稱為[pic]的概率分布表。它清楚地表示出[pic]的取值的概率分布情況 ．為簡單起見，隨機變量[pic]的概率分布情況也可以用一系列等式 [pic] (＊) (＊) 稱為[pic]的概率分布或分布律。 例如：上節(jié)【例1】[pic]的概率分布表是 [pic]， [pic]的概率分布是 [pic] 上節(jié)【例2】[pic]的概率分布表是 [pic] [pic]的概率分布是 [pic] 【例1】某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率都是[pic]，現(xiàn)他連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到第一 次擊中目標(biāo)為止， 記[pic] ＝“射擊次數(shù)”，則[pic]是一個隨機變量，求[pic]的概率分布解： [pic]的可能取值的可能取值是一切自然數(shù)，即 [pic] =[pic]， 且 [pic]， 其中 [pic]， 且[pic]的概率分布表如下： [pic] 2．性質(zhì)：　　 任何一個離散型隨機變量的概率分布一定滿足性質(zhì)， 　　　[pic] 利用隨機變量及其分布律，我們可求各種隨機事件發(fā)生的概率。 【例2】袋中有5個球，分別編號1，2，３，４，5．從其中任取3個球，求取出的3個球 中最大號碼的概率函數(shù)和概率分布表． 解：設(shè)　[pic]＝“取出的3個球中的最大號碼”, 則 [pic]的可能取值：3，4，5， 由古典概型知： [pic]=0。1， [pic] =0。3 [pic] =0。6 [pic] 的概率分布為 [pic] 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 　二．幾個常用的離散型分布： 1. 兩點分布： 如果隨機變量[pic]的分布（概率）為： [pic]， 則稱[pic]服從兩點分布（[pic]為參數(shù)），特別地，當(dāng)[pic]時，則稱[pic]服從“0 －１” 分布,即 [pic] ， “0 －１”分布也常稱為貝努利分布. 例如: 上節(jié)【例1】中，[pic]服從“0 －１” 分布。 【例3】 有100件產(chǎn)品，其中有95件是正品，5件是次品，現(xiàn)在隨機地抽取一件，假設(shè)抽到每一 件的機會都相同，則抽得正品的概率＝0．95，而抽得次品的概率＝0．05． 現(xiàn)定義隨機變量[pic]如下： [pic] 則 有 [pic] , [pic]服從“0 －１” 分布。 2. 二項分布: 設(shè)隨機變量[pic]的可能取值為0，1，2，…，n,　且 　　　　　　　[pic] 　　　　　　　　　[pic]　， 則稱[pic]服從參數(shù)為[pic] 的二項分布， [pic] 可驗證： [pic] 特別地，　當(dāng)　n＝１時的二項分布就是兩點分布?！?二項分布在討論貝努里試驗時很有用。貝努里試驗是一種很重要且應(yīng)用很廣泛的數(shù) 學(xué)模型。 3. 保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概串 設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保，每個人一年內(nèi)死亡的概率為 o．005個，試求在未來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)[pic]不超過10人的概 率． 解：對每個人而言，在未來一年是否死亡相當(dāng)于做一次貝努里試驗，1000人就是做1 000重貝努里試驗，因此，[pic]，所求概率為 [pic] 注意 ：從例中可以看到*要直接計算量大，可用泊松定理作近似計算(參看第一章§5)． [pic] [pic]， 則 [pic] 【例】 　　　[pic] [pic] [pic][pic] [pic] 　　　　　　　　　[pic] ３．泊松（Poisson）分布： 設(shè)隨機變量[pic]的可能取值為0，1，2，…，且 　　　　　　　　[pic] 則稱[pic]服從參數(shù)為[pic]的泊松分布， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 泊松分布是概率論中重要分布之一。許多隨機現(xiàn)象都可以用泊松分布來進行描述，如單 位長度布面上的疵點數(shù)，電話總機在單位時間內(nèi)收到的呼叫數(shù)，一個地區(qū)每月發(fā)生的事 故斂，物理學(xué)中熱電子的發(fā)射個數(shù)等等都服從泊松分布． 【例】 [pic] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下 表記錄 [pic] [pic] 　　　　　　　　　　　　投在倫敦的飛彈 [pic] 【例】 [pic] 3. 幾何分布： [pic] 4．超幾何分布： [pic] 　　　[pic] [pic] 三．習(xí)題：Ｐ．５０　――?。?，３，４，
離散型隨機變量2-2