輕鬆OW統(tǒng)?(1)
輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)（1） 作者：張忠樸 1.刻版印象 現(xiàn)代人其實(shí)離不開(kāi)統(tǒng)計(jì)，但是現(xiàn)代人卻又普遍有『統(tǒng)計(jì)很難學(xué)』的刻版印象， 所以在學(xué)校上統(tǒng)計(jì)課時(shí)，學(xué)生翹課或上課打瞌睡就成了思空見(jiàn)慣的現(xiàn)象，而相對(duì)的 老師也就只好搬出活當(dāng)、死當(dāng)來(lái)以儆效尤，這種怨憎會(huì)的場(chǎng)景真的是學(xué)統(tǒng)計(jì)的宿命 嗎？ 曾經(jīng)也被統(tǒng)計(jì)公式搞的七暈八素，曾經(jīng)也在統(tǒng)計(jì)課堂中無(wú)聊入眠，但是沒(méi)想到 自己居然會(huì)成為教統(tǒng)計(jì)的老師，因此我一直希望自己的學(xué)生不要重入自己當(dāng)年的惡 夢(mèng)，我立志要讓學(xué)生輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)。 但是如果他們已有統(tǒng)計(jì)難學(xué)的刻版印象，那該如何先讓他們放輕松呢？第一招 當(dāng)然是要打破心結(jié)，因此統(tǒng)計(jì)的第一節(jié)課需要先發(fā)制人，先問(wèn)學(xué)生一個(gè)問(wèn)題：『統(tǒng) 計(jì)難學(xué)嗎？』學(xué)生幾乎都異口同聲的哀叫『難！』 我沉默以對(duì)，讓他們遲疑30秒之后再問(wèn)：『有沒(méi)有聽(tīng)過(guò)常態(tài)分配？』學(xué)生們幾 乎都會(huì)略為安心地說(shuō)『有！』 我微笑以對(duì)，在他們安心30秒之后再問(wèn)：『請(qǐng)問(wèn)是先有常態(tài)分配，所以人長(zhǎng)的 不高不矮，還是先有身高的事實(shí)再有常態(tài)分配？』同學(xué)一陣交頭接耳之后，幾乎全 數(shù)舉手贊成是先有身高的事實(shí)，再有常態(tài)分配。 既然這是大家的共識(shí)，當(dāng)然要乘勝突破他們的心防，和顏悅色的告訴大家：『 既然統(tǒng)計(jì)學(xué)是事實(shí)在先，理論在后，那么我們何苦要自己嚇自已，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)很難呢 ？』 當(dāng)大家默默點(diǎn)頭之后，就可以繼續(xù)向他們挑戰(zhàn)：『既然統(tǒng)計(jì)是前人將事實(shí)歸納 出的結(jié)論，那么讓我們也一起重新走過(guò)這段尋幽訪勝的趣味古道好不好？』 歡呼聲中，我們開(kāi)始了尋幽訪勝之旅。 2.尋幽訪勝 尋幽訪勝的第一個(gè)問(wèn)題是：『統(tǒng)計(jì)必備的原料是什么？』幾乎立刻會(huì)有人想到 『統(tǒng)計(jì)的原料是數(shù)據(jù)』，這當(dāng)然是正確的答案，在興奮之余再向他們挑戰(zhàn)， 『請(qǐng)問(wèn)是不是有數(shù)據(jù)就是統(tǒng)計(jì)？』 『老師，那可不見(jiàn)得！』 『那你認(rèn)為除了數(shù)據(jù)，還需要加上什么才可能讓統(tǒng)計(jì)更完整呢？』 一陣沉思之后，有人提出『要將數(shù)據(jù)拿來(lái)計(jì)算』 『Good！但是要算出什么東西呢？』 『譬如要算出平均身高』 『對(duì)！平均身高是最重要的統(tǒng)計(jì)量之一，一般用[pic]表示，[pic]是代表集中 趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量』 這就上路了，這群學(xué)生已漸漸會(huì)尋幽訪勝了， 『除了計(jì)算平均值，這些數(shù)據(jù)還可以算出那些名堂？』 『還可以算出差距』 『請(qǐng)問(wèn)你說(shuō)的差距是什么意思？』 『就是指最高身高減最低身高嘛！』 『OK!你所謂的差距就是統(tǒng)計(jì)學(xué)上所說(shuō)的全距，一般用R來(lái)表示，R是代表離中 趨勢(shì)的一種統(tǒng)計(jì)量』 　 這群學(xué)生現(xiàn)在已能慢慢體會(huì)到推理的自信與學(xué)習(xí)的樂(lè)趣了，這時(shí)不妨給他們一點(diǎn)更 Tough的問(wèn)題： 『那么請(qǐng)問(wèn)是不是有了這些計(jì)算（[pic]Ｒ等）就算是統(tǒng)計(jì)呢？』 學(xué)生由興奮陷入沈思，沉思之后有些學(xué)生開(kāi)始輕輕的搖頭， 『那你們是不是認(rèn)為原始數(shù)據(jù)加上計(jì)算并不完全等于統(tǒng)計(jì)呢？』 　　他們?nèi)玑屩刎?fù)地拼命點(diǎn)頭，但是為了幫他們更趨于嚴(yán)謹(jǐn)而成熟，這時(shí)候不但不 能丟救生圈給他們，反而要用鐵石心腸來(lái)逼問(wèn)──『那么統(tǒng)計(jì)倒底是什么「碗糕」？ 』 3.柳暗花明 　雖然他們還不能立即回答這個(gè)難題，但是他們至少已明白統(tǒng)計(jì)中少不了數(shù)據(jù)與計(jì) 算，而那仍然不足的部分倒底是什么呢？換言之，計(jì)算若不是統(tǒng)計(jì)的終點(diǎn)，那么統(tǒng) 計(jì)最終的目的倒底是什么呢？慢慢地有學(xué)生會(huì)說(shuō)： 『統(tǒng)計(jì)的目的是要讓我們得到有意義的情報(bào)！』 『對(duì)！但是什么才是有意義的情報(bào)呢？』 有位同學(xué)在經(jīng)過(guò)連番追問(wèn)后，若有所悟，他突然反守為攻， 『請(qǐng)問(wèn)老師能不能舉幾個(gè)有關(guān)情報(bào)的例子，這樣我們就可以回答什么是有意義 的情報(bào)了。』 真是孺子可教，既然問(wèn)的合情合理，那就先舉一個(gè)例子讓他們揣摩。 『例１：請(qǐng)問(wèn)“拉力強(qiáng)度很好”算不算是有意義的情報(bào)？』 『老師，不算！』 『為什么不算？』 『老師，因?yàn)椤袄?qiáng)度很好”太籠統(tǒng)了，它根本沒(méi)有任何數(shù)據(jù)可作判斷的參考 ?！?既然初生之犢不畏『?！?，那就只有加一點(diǎn)料，再來(lái)試試他們。 『例2：好，那么我們加上數(shù)據(jù)“拉力強(qiáng)度平均為5kg/cm2”，請(qǐng)問(wèn)這算不算有意 義的情報(bào)？』 『老師，這樣的情報(bào)雖然有意義，但是仍不理想。』 『為什么？』 『因?yàn)橹挥刑岬狡骄凳?kg/cm2，但是我們并不知道這是0與10的平均，還是 4.99與5.01的平均，所以很難單憑平均值來(lái)判斷此一情報(bào)是否有意義?！?　　這些學(xué)生真是成材，他們的思緒已愈來(lái)愈嚴(yán)謹(jǐn)了，居然已能從推理中體會(huì)到集 中趨勢(shì)并無(wú)法完全代表統(tǒng)計(jì)量的事實(shí)，不僨不啟古有明訓(xùn)，所以只有再為他們指點(diǎn) 迷津。 『例3：你們的考慮沒(méi)錯(cuò)，既然如此，那么我們就再加上范圍“大多數(shù)產(chǎn)品的拉 力強(qiáng)度在5kg±0.6kg之內(nèi)”，這樣你們滿意了嗎？』 『不滿意！』學(xué)生齊哄， 『為什么？』 『因?yàn)榇蠖鄶?shù)太不明確了！』 得天下英才而教之的喜樂(lè)這時(shí)一起涌現(xiàn)，這群學(xué)生真的太可愛(ài)了， 『那我們把大多數(shù)更明確化一點(diǎn)好不好？』 『好！』 『例4：如果修改成“99.73%的產(chǎn)品拉力強(qiáng)度在5kg±0.6kg/cm2之內(nèi)”，你們滿意 嗎？』 　　一些參與度較高的同學(xué)馬上表示滿意，但仍有一部分沒(méi)有表示意見(jiàn)，為了確認(rèn) 全班的認(rèn)知程度，所以再一次改采主動(dòng)，請(qǐng)全班同學(xué)從例1到例4中，要挑出一個(gè)他 認(rèn)為最有意義的情報(bào)，經(jīng)過(guò)兩分鐘的表決，結(jié)果全班同學(xué)一致認(rèn)為例4才是相對(duì)而 言最有意義的情報(bào)。 4.水落石出 　經(jīng)過(guò)這一連串的討論，需要幫學(xué)生將思緒重新整理一下，于是在黑板上先畫(huà)了 下面這張圖： [pic] 然后向?qū)W生解釋，這是一般生產(chǎn)系統(tǒng)簡(jiǎn)單的示意圖，I代表Input也就是指原料 ，P代表Production也就是指加工，O代表Output也就是成品，接著我請(qǐng)大家想一下 如果統(tǒng)計(jì)也是一個(gè)系統(tǒng)，那么就統(tǒng)計(jì)而言上圖中的I、P、O分別代表什么呢？ 有一位同學(xué)立刻自告奮勇的沖上黑板，在上圖的每一個(gè)框框下分別填上 [pic] |數(shù)據(jù) |算 |有意義的情報(bào) | 『等一下！』當(dāng)他要沖回座位時(shí)我大叫一聲，一面把另一枝粉筆交給他，一面 向他說(shuō)： 『謝謝您剛才的答案，這的確是很恰當(dāng)?shù)拇鸢?，但是可否?qǐng)您再將您的答案作 一點(diǎn)整合，能否試試看將“數(shù)據(jù)”、“計(jì)算”及“有意義的情報(bào)”整理成一個(gè)關(guān)系式 ？』 這位同學(xué)考慮了一下，重新在黑板上寫(xiě)了一個(gè)關(guān)系式。 [pic] 　　他一面寫(xiě)、我一面替他高興，當(dāng)他寫(xiě)完后，我請(qǐng)他向全班同學(xué)解釋一下，他充 滿自信地說(shuō)： 『這個(gè)公式的意思是說(shuō)，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)計(jì)算后若能產(chǎn)生出有意義的情報(bào)，那就是統(tǒng)計(jì)。 』 　　不待我的邀請(qǐng)，全班同學(xué)已對(duì)他的解釋報(bào)以熱烈的掌聲，一面欣賞地看著他走 回座位，一面向全班同學(xué)說(shuō)『你們看，只要大家肯不斷地發(fā)揮創(chuàng)意、努力思考，我 們就可以自己體會(huì)出統(tǒng)計(jì)的真諦，所以我們?yōu)槭裁匆陆y(tǒng)計(jì)呢？』 『但是，下課之前最后我要請(qǐng)各位從大家例4中，歸納出有意義的情報(bào)應(yīng)包括那些 構(gòu)成要素？』 『老師，5kg代表集中趨勢(shì)』甲同學(xué)說(shuō) 『那±0.6kg應(yīng)該是代表離中趨勢(shì)』乙同學(xué)接著說(shuō) 『但是，剩下的99.73%呢？』我反問(wèn) 『老師，那是指含蓋在5±0.6kg這個(gè)范圍之內(nèi)的機(jī)率』 『完全正確，所以希望各位同學(xué)能將剛才討論的例子一般化，其實(shí)就統(tǒng)計(jì)學(xué)而言， 任何有意義的情報(bào)都有三個(gè)構(gòu)成要素，分別是： 1.集中趨勢(shì)（通常以[pic]作代表） 2.離中趨勢(shì)（通常以 [pic]作代表） 3.被含蓋在特定范圍內(nèi)的機(jī)率』 　為了加深同學(xué)的印象，所以下課之前才請(qǐng)他們翻開(kāi)課本上的常態(tài)分配圖 [pic] 然后請(qǐng)問(wèn)他們， 『如果成年男子的身高平均值（[pic]）是167cm，標(biāo)準(zhǔn)差（[pic]）是8cm，那 么請(qǐng)問(wèn)大約有多少成年男子的身高在159至175cm之間？』 立刻有學(xué)生回答：『68.26%』 『為什么？』 『因?yàn)?59cm等于167- 8，175cm等于167+8，所以，老師舉的例子正好是 [pic]±1[pic] 的范圍，而參考上圖，落在[pic]±1[pic]的機(jī)率正好是68.26%』 『太好了，所以統(tǒng)計(jì)就是這么簡(jiǎn)單也這么好玩對(duì)不對(duì)？』 同學(xué)非常興奮地大聲說(shuō)『對(duì)！』 　　在興趣盎然中，正好下課鐘聲響起，看著他們快樂(lè)地走出教室，我知道他們已 變成了一群喜愛(ài)統(tǒng)計(jì)的新朋友。
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